Joseph Louis Lagrange

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Joseph-Louis Lagrange
Joseph-Louis (Giuseppe Lodovico), comte de Lagrange
Joseph-Louis (Giuseppe Lodovico),
comte de Lagrange
Naixement 25 de gener de 1736
Torí, Piemont-Sardenya
Mort 10 d'abril de 1813 (als 77 anys)
París, França
Residència Piemont
França
Prússia
Nacionalitat sarda
francesa
Camp Matemàtiques
Física matemàtica
Assessorament acadèmic   Leonhard Euler
Estudiants doctorals   Joseph Fourier
Giovanni Plana
Siméon Poisson
Treball(s) Vegeu llista
mecànica analítica
Mecànica celeste
Anàlisi matemàtica
Teoria de nombres
No tenia un director de tesi, però les autoritats genealogia acadèmica vinculen la seva herència intel·lectual a Leonhard Euler, que va exercir un paper equivalent.

Joseph Louis Lagrange (25 de gener de 1736 - 10 d'abril de 1813) va ser un matemàtic, físic i astrònom italià que després va viure a Prússia i França. Va treballar per a Frederic II de Prússia a Berlín, durant vint anys. Lagrange va demostrar el teorema del valor mitjà, va desenvolupar la mecànica lagrangiana i va tenir una important contribució en astronomia.

Biografia[modifica | modifica el codi]

Primers anys[modifica | modifica el codi]

Va nàixer (amb el nom de Giuseppe Luigi Lagrangia) a Torí. Son pare, militar, era de bona posició social i adinerat, però abans que el seu fill cresquera havia perdut la majoria de les seues propietats especulant, i el jove Lagrange havia de confiar en les seves pròpies habilitats.

Va ser educat en la universitat de Torí, però no va ser fins que els disset anys que va mostrar el seu interès per les matemàtiques i el seu entusiasme el va despertar la lectura d'una obra de l'astrònom Edmond Halley. Després d'un any d'incessant treball, era ja un matemàtic consumat.

Quan tenia només dènou anys, va enviar una carta a Leonhard Euler que va resoldre un problema que havia sigut un assumpte de discussió durant més de mig segle per mitjà d'una nova tècnica el càlcul de variacions. Euler va reconèixer la generalitat del mètode, i la seva superioritat; i amb una cortesia rara en ell va retenir un paper que ell havia escrit prèviament perquè el jove italià tinguera temps per a completar el seu treball, com exigeix la invenció d'un nou mètode de càlcul. El nom d'esta branca de l'anàlisi la va suggerir el mateix Euler. Aquest treball va posar Lagrange en primera línia entre els matemàtics de la seva època. En 1758, amb l'ajuda dels seus alumnes, Lagrange va publicar en l'Acadèmia de Torí la majoria dels seus primers escrits consistents en els cinc volums, normalment coneguts com a Miscellanea Taurinensia .

En 1761 Lagrange no tenia rival en el camp de les matemàtiques; però el seu treball incessant durant els últims nou anys havien afectat seriosament la seva salut, i els doctors es van negar a ser responsables de la seva vida a menys que ell s'ho prenguera seriosament. Encara que la seva salut va ser temporalment restablerta mai el seu sistema nerviós va recuperar el to, i d'ací en avant va patir constantment atacs de malenconia severa.

Lagrange era de mitjana alçada, complexió dèbil, amb ulls blaus clar i un color de pell pàl·lida. Era d'un caràcter nerviós i tímid, va detestar la controvèrsia, i en evitar-la de bona gana, va permetre a altres tenir crèdit per coses que ell havia fet.

En la cort reial de Prússia[modifica | modifica el codi]

En 1766 Euler va abandonar Berlín, i Frederic II el Gran va escriure a Lagrange per a expressar-li el seu desig de "el rei més gran d'Europa" hauria de tenir "el matemàtic més gran d'Europa" vivint en la seva cort. Lagrange va acceptar l'oferta i durant els pròxims vint anys en Prússia, no sols va produir la sèrie més gran de documents publicada en el Berlín sinó que va publicar el seu treball monumental, la Mécanique analytique.

La seva estada a Berlín va començar amb un desafortunat error: estant la majoria dels seus col·legues casats, i aconsellat per les seves esposes que era l'única manera d'estar content, es va casar; la seva esposa es va morir prompte, però la unió no va ser feliç.

Lagrange era el favorit del rei i sovint va dissertar sobre els avantatges d'una regularitat perfecta en la vida. La lliçó la va aplicar a la seva vida, i Lagrange va estudiar la seva ment i el seu cos com si foren màquines, i va trobar experimentant la quantitat exacta de treball que podia fer sense perdre la salut. Totes les nits es posava una tasca definida per al pròxim dia, i al completar qualsevol tema escrivia una curta anàlisi per a veure quins punts en les demostracions eren susceptibles de millora. Sempre va pensar en els seus articles abans de compondre'ls, i normalment els va escriure amb neteja i sense una sola raspadura o correcció.

Última etapa a França[modifica | modifica el codi]

En 1787 Frederic II va morir, i Lagrange que s'havia adaptat al clima de Berlín va acceptar alegrement l'oferta de Lluís XVI per a emigrar a París. Havia rebut invitacions semblants d'Espanya i Nàpols. A França va ser rebut amb distinció, i es van preparar apartaments especials en el Louvre per a la seva recepció. Al principi de la seva residència va tenir un atac de malenconia, i una còpia impresa del seu Mécanique en la que havia treballat un quart de segle, va estar durant més de dos anys sense obrir en el seu escriptori. La curiositat sobre els resultats de la revolució francesa el va traure de la seva letargia, una curiositat que prompte es va tornar en alarma amb el va desenvolupar de la revolució.

En 1792, la inexplicable tristesa de la seva vida i la seva timidesa va moure la compassió d'una jove xicota que va insistir a casar-se sent feliç amb la dita unió. Encara que el decret d'octubre de 1793 exigia que tots els estrangers deixaren França no li va ser aplicat, desitjava anar-se quan li van oferir la presidència de la comissió per a la reforma de pesos i mesures. L'opció de les unitats finalment seleccionada era principalment deguda a ell, i per la seva influència es va acceptar per la comissió la subdivisió decimal 1799.

Encara que Lagrange havia volgut eixir de França mai va estar en perill; i els diferents governs revolucionaris (i més tard, Napoleó) el va omplir honors i distincions. En 1795 Lagrange va ocupar una cadira matemàtica honorífica en la École normale que va gaudir només una existència breu de quatre mesos. Les seves conferències ací eren prou elementals, i no conté res d'importància especial. En 1797 Lagrange va ser nomenat professor de École Polytechnique i les conferències que va donar allí als matemàtics que van tenir la bona sort de poder assistir a elles, tenien la base en la seva obra Théorie dónes fonctions analytiques

En 1810 Lagrange va començar una revisió completa de la Mécanique analytique , però només va poder completar uns dos terços abans de la seua mort que va succeir en 1813.

La seva obra[modifica | modifica el codi]

Miscellanea Taurinensia[modifica | modifica el codi]

El primer volum conté un document de la teoria de la propagació de so; indica un error fet per Newton, i obté l'equació diferencial general per al moviment, i troba la solució per al moviment en línia recta. Este volum també conté la solució completa del problema d'una corda que vibra transversalment; en este treball assenyala la falta de generalitat en les solucions donades prèviament per Brook Taylor, D'Alembert i Euler arribant a la conclusió que la forma de la corba per a un temps t qualsevol ve donada per l'equació i = a \sin (mx)\cdot \sin (nt). L'article conclou amb una hàbil discussió sobre ecos, i sons compostos. Altres articles en este volum són sèrie recursives, probabilitat, i càlcul de variacions.

El segon volum conté un document llarg que inclou els resultats de diversos documents del primer volum i notes sobre el càlcul de variacions; i il·lustra el seu ús deduint el principi de mínima acció, i les solucions de diversos problemes de dinàmica.

El tercer volum inclou la solució de diversos problemes de dinàmica per mitjà del càlcul de variacions; alguns documents de càlcul integral; una solució del problema de Fermat, trobar un nombre x què farà que ( x ² n + 1) siga un quadrat on n és un enter atès que no és un quadrat; i les equacions de diferencial generals del problema del moviment de n-cossos i la seva aplicació al Problema dels tres cossos que es mouen davall les seves atraccions mútues.

Els tractats[modifica | modifica el codi]

La seva activitat mental durant estos vint anys en Prússia van ser sorprenents, no sols pel fet de produir la seva esplèndida Mécanique analytique, sinó per contribuir amb dos-cents treballs a les Acadèmies de Berlín, Torí, i París. Alguns d'estos realment són tractats, i tots sense excepció són d'una extraordinària qualitat. Excepte un curt temps quan ell estava malalt en què va produir aproximadament un article generalment al mes. Els més importants són:

  • Les seves contribucions als volums quart i quint, 1766 -1773, de la Miscellanea Taurinensia ; el més important va ser un en 1771 que va discutir com nombroses observacions astronòmiques han de combinar-se per a donar el resultat més probable.
  • Després, les seves contribucions als primers dos volums, 1784 - 1785, de l'Acadèmia de Torí. Un paper sobre la pressió exercida pels fluids en moviment, i el segon un article en la integració d'una sèrie infinita, i el tipus de problemes perquè és convenient.

L'astronomia[modifica | modifica el codi]

El següent treball va ser en 1764 sobre la libració de la Lluna, i una explicació sobre per què sempre ofereix la mateixa cara a la Terra, un problema que ell va tractar amb l'ajuda del treball virtual. La seva solució és especialment interessant per contenir el germen de la idea d'equacions generalitzades de moviment, equacions que va demostrar formalment en 1780.

La majoria dels treballs enviats a París versava sobre preguntes astronòmiques, i entre estos papers cal mencionar el sistema jovià en 1766, el seu assaig en el problema dels tres cossos en 1772, el seu treball sobre l'equació secular de la Lluna en 1773, i el seu tractat sobre les pertorbacions cometaries de 1778. Aquestos eren tots assumptes proposats per l'Acadèmia francesa, i en cada cas el premi se li va atorgar a ell.

Hi ha nombrosos articles d'astronomia. D'estos els més importants són el següent:

  • Intentant resoldre el Problema dels tres cossos, va descobrir els punts de Lagrange en 1772 d'interés perquè en ells s'han trobat els asteroides troians i satèl·lits troians de Saturn.
  • Gravitació d'el·lipsoides, 1773: Punt de partida del treball de Maclaurin.
  • L'equació secular de la Lluna, 1773; també notable per la introducció de la idea de potencial. El potencial d'un cos en un punt és la suma de la massa de cada element del cos dividit per la seva distància del punt. Lagrange va mostrar que si el potencial d'un cos a un punt extern fóra conegut, l'atracció en qualsevol direcció podria trobar-se de seguida. La teoria del potencial es va elaborar en un article enviat a Berlín en 1777.
  • El moviment dels nodes de l'òrbita d'un planeta 1774.
  • L'estabilitat de les òrbites planetàries, 1776.
  • Dos articles sobre el mètode per a determinar l'òrbita d'un cometa amb tres observacions, en 1778 i 1783,: açò no s'ha demostrat pràcticament disponible de fet, però el seu sistema de calcular les pertorbacions per mitjà de les quadratures mecàniques ha format la base de la majoria de les investigacions subsegüents en l'assumpte.
  • La seva determinació de les variacions seculars i periòdiques dels elements orbitals dels planetes, 1781-1784: els límits superiors assignats perquè estos estan d'acord amb aquells obtinguts després per Le Verrier, i Lagrange va procedir fins on el coneixement permetia llavors de les masses dels planetes.
  • A aquest tema va tornar durant els últims anys de la seva vida quan estava ja a París. La teoria del moviment planetari havia format part d'alguns dels més notable papers de Berlín de Lagrange. En 1806 l'assumpte es va tornar a obrir per part de Poisson, qui, en un paper llegit abans en l'Acadèmia francesa, va mostrar les fórmules de Lagrange portades a certs límits per a l'estabilitat de les òrbites. Lagrange que estava present va discutir ara de nou l'assumpte sencer, i en una carta comunicada a l'Acadèmia en 1808 va explicar com, per la variació de constants arbitràries, les desigualtats periòdiques i seculars de qualsevol sistema de cossos mútuament units per la gravitació podrien ser determinades.

L'àlgebra[modifica | modifica el codi]

El nombre més gran dels seus articles d'àlgebra els va enviar a l'Acadèmia de Berlín. Cal destacar:

  • La seva discussió de les solucions enteres de les formes quadràtiques, 1769, i generalment d'equacions indeterminades, 1770.
  • El seu tractat de la teoria d'eliminació de paràmetres, 1770.
  • Els seus papers en el procés general per resoldre una equació algebraica de qualsevol grau, 1770 i 1771; este mètode és tarat per a les equacions d'un orde superior al quart, perquè involucra la solució d'una equació d'orde superior, però dóna totes les solucions dels seus predecessors.
  • La solució completa d'una equació binomial de qualsevol grau, esta ocupa l'últim lloc en els papers mencionats.
  • Finalment, en 1773, el seu tractament de determinants de segon i tercer orde, i dels seus invariants.

La teoria de nombres[modifica | modifica el codi]

Alguns dels seus papers inicials també tracten de preguntes connectades amb l'abandonat però singularment fascinant tema de la teoria de nombres. Entre estos és el següent:

  • La seva prova del teorema que cada enter positiu que no és un quadrat pot expressar-se com la suma de dos, tres o quatre quadrats d'enters, 1770.
  • La seva prova del teorema de Wilson que si n és un nombre primer, llavors ( n - 1)! + 1 sempre és un múltiple de n , 1771.
  • Els seus papers de 1773, 1775, i 1777, què dóna les demostracions de diversos resultats enunciades per Fermat, i no demostrat prèviament.
  • I, finalment, el seu mètode per determinar els factors de nombres de la forma x^2 + ay^2.

La Mecànica analítica o lagrangiana[modifica | modifica el codi]

Entre 1772 i 1788, Lagrange reva formular la mecànica de clàssica d'Isaac Newton per a simplificar fórmules i facilitar els càlculs. Esta mecànica s'anomena mecànica Lagrangiana o mecànica analítica. Escriu el seu gran tractat La Mecànica analítica. Al llibre estén la llei del treball virtual, i fa d'ell un principi fonamental, amb l'ajuda del càlcul de variacions, deduïx tot la mecànica, dels sòlids i fluids.

L'objecte del llibre és mostrar que l'assumpte és implícitament inclòs en un sol principi, que permet donar fórmules generals de què qualsevol resultat particular pot obtenir-se. El mètode de coordenades generalitzades que va obtenir és potser el resultat més intel·ligent de la seua anàlisi. En compte de seguir el moviment de cada part individual d'un sistema material, com d'Alembert i Euler havia fet, va mostrar que, si nosaltres determinem la seva configuració per un nombre suficient de variables el nombre del qual és igual que els graus de llibertat que posseeix el sistema, llavors poden expressar-se les energies cinètiques i potencials del sistema pel que es refereix a eixes variables, i les equacions del diferencials del moviment es deduïxen per la diferenciació. Per exemple, en la dinàmica d'un sistema rígid ell reemplaça la consideració del problema particular per l'equació general que s'escriu ara normalment amb la fórmula


 \frac{d}{dt}
 \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}} 
- \frac{\partial T}{\partial \theta} 
+ \frac{\partial V}{\partial \theta} = 0.

T és l'energia Cinètica i V per a l'energia Potencial. Entre altres teoremes menors ací donat pot mencionar-se la proposició que l'energia cinètica d'un sistema material baix les restriccions donades és un màxim, i el principi de mínima acció. Tota l'anàlisi és tan elegant que William Rowan Hamilton va dir el treball només podria descriure's com un poema científic. Pot ser interessant observar que Lagrange va comentar que la mecànica realment era una branca de matemàtica pura anàloga a una geometria de quatre dimensions, a saber, el temps i les tres coordenades del punt en l'espai. Al principi cap editorial volia publicar el llibre; però Legendre per fi va persuadir una empresa de París per a fer-ho, i es va fer davall la seva supervisió en 1788.

Miscel·lània[modifica | modifica el codi]

Hi ha també nombrosos articles sobre diversos punts de geometria analítica. En dos d'ells, escrit prou després, en 1792 i 1793, va reduir les quàdriques a la seva forma canònica.

Durant els anys de 1772 a 1785 va contribuir amb una llarga sèrie d'articles que van crear ciència, l'equacions diferencials, en derivades parcials. Una gran part d'estos resultats s'ha reunit en la segona edició del càlcul integral d'Euler que es va publicar 1794.

Durant els últims anys a França el seu treball se centra en l'Anàlisi

Théorie des fonctions analytiques[modifica | modifica el codi]

Les seues conferències en École Polytechnique van tractar del càlcul diferencial la base del seu Théorie des fonctions analytiques què es va publicar en 1797. Aquest treball és l'extensió d'una idea continguda en un article que ell havia enviat a Berlín en 1772. Un mètode quelcom semblant s'havia usat prèviament per John Landen en l'Anàlisi Residual, va publicar a Londres en 1758. Lagrange va creure que podia alliberar-se així de les dificultats per l'ús de quantitats infinitament grans i infinitament xicotetes, que els filòsofs van objectar en el tractament usual del càlcul del diferencial. El llibre està dividit en tres parts. Dóna una prova algebraica del Teorema de Taylor. La segona tracta les aplicacions a la geometria; i la tercera aplicacions a la mecànica. Un altre tractat en les mateixes línies va ser el seu Leçons sur le calcul des fonctions, publicat en 1804. Estos treballs poden ser considerats com el punt d'arrancada- per a les investigacions de Cauchy, Jacobi i Weierstrass.

Infinitesimals[modifica | modifica el codi]

Amb posterioritat Lagrange va usar els infinitesimals en el càlcul diferencial en l'estudi de fórmules algebraiques; i en el pròleg a la segona edició del Mécanique que es va publicar en 1811, ell justifica l'ocupació d'infinitesimals, amb estes paraules: "quan nosaltres hem agafat l'esperit del mètode infinitesimal, i o ha verificat l'exactitud dels seus resultats pel mètode geomètric de primeres i últimes proporcions, o pel mètode analític de funcions derivades, nosaltres podem emprar les quantitats infinitament xicotetes com un mig segur i valuosos d'acurtar i simplificar les nostres proves. "

Fraccions contínues[modifica | modifica el codi]

El seu Traité de la résolution des équations numériques, publicat en 1798, també és fruit de les seves conferències en l'Escola politècnica. En ell dóna el mètode d'aproximar les arrels reals d'una equació per mitjà de fraccions contínues, i enuncia diversos altres teoremes. Al final en una nota mostra el petit teorema de Fermat

 a^{p-1} - 1 \equiv 0 \; ({\rm mod} \; p) \;,

on p és un nombre primer i a és un nombre enter primer d'entre si amb p (m.c.d. (a,p)=1, pot aplicar-se per a donar la solució algebraica completa de qualsevol equació binomial. Explica també com l'equació les arrels de la qual són els quadrats de les diferències de les arrels de l'equació original pot usar-se per a donar molta informació sobre la posició i naturalesa d'eixes arrels.

La matemàtica pura[modifica | modifica el codi]

Els interessos de Lagrange eren essencialment aquells d'un estudiant de matemàtica pura: va buscar i va obtenir resultats abstractes de llarg abast, i estava satisfet de deixar les aplicacions a altres. De fet part dels descobriments del seu gran contemporani, Laplace, consisteix en l'aplicació de les fórmules de Lagrange als fets de naturalesa; per exemple, les conclusions de Laplace de la velocitat de so i de l'acceleració secular de la Lluna estan ja implícitament en els resultats de Lagrange. L'única dificultat en Lagrange és generalitat extrema dels seus processos; però la seua anàlisi és tan lúcida i lluminosa com és simètrica i enginyosa."

Un recent escriptor que parla de Lagrange diu de veritat que ell va prendre una part fonamental en l'avanç de quasi totes les branca de la matemàtica pura. Com Diofant i Fermat, ell va posseir un geni especial per a la teoria de nombres, i en aquest assumpte va donar solucions de molts dels problemes que s'havien proposat per Fermat, i va agregar alguns teoremes propis. Va crear el càlcul de variacions. La teoria d'equacions diferencials està en deute amb ell per convertir-la en una ciència en compte d'una col·lecció d'enginyosos artificis per a la solució de problemes particulars.

Va contribuir al càlcul de diferències finites amb la fórmula d'interpolació que porta el seu nom. Els seus tres treballs sobre el mètode d'interpolació de 1783, 1792 i 1793,: estan ara en la mateixa fase en què Lagrange els va deixar.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]