Lemniscata polinòmica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
|z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1|=1

En matemàtiques, una lemniscata polinòmica o corba de nivell polinòmica és una corba algebraica plana del grau 2n, construïda a partir d'un polinomi p amb coeficients complexos de grau n.

Per a qualsevol tal polinomi p i nombre real positiu c, es pot definir un conjunt de nombres complexos amb |p(z)| = c. Aquest conjunt de nombres es poden equiparar a punts en el pla cartesià, que porten a una corba algebraica ƒ(x,y) = c2 de grau 2n, que resulta de desenvolupar p(z) \bar p(\bar z) en termes de zx  + iy.

Quan p és un polinomi del grau 1 llavors la corba que resulta és simplement un circumferència el centre de la qual és el zero de p. Quan p és un polinomi del grau 2 llavors la corba és un Oval de Cassini.

Lemniscata d'Erdős[modifica | modifica el codi]

Erdős lemniscate of degree ten and genus six
Lemniscata Erds del grau deu i gènere sis

Una conjectura d'Erdős que ha atret interès considerable fa referència a la màxima llargada d'una lemniscata polinòmica ƒ(x,y) = 1 de grau 2n quan p és monic, que Erdős conjecturava que s'assolia quan p(z) = zn − 1. En el cas quan n = 2, la lemniscata Erdős és la lemniscata de Bernoulli

(x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)\,

i s'ha demostrat que aquesta és en efecte la llargada màxima en grau quatre. La lemniscata Erdős té tres punts de n-pleg ordinaris, un dels quals és a l'origen, i un gènere de (n − 1)(n − 2)/2. Invertint la lemniscata Erdős respecte de la circumferència unitat, s'obté una corba no singular de grau n.

Lemniscata polinòmica genèrica[modifica | modifica el codi]

En general, una lemniscata polinòmica no tocarà a l'origen, i tindrà només dues singularitats ordinàries n-pleg, i per això un gènere ( n − 1)2. Com a corba real, pot tenir un cert nombre de components desconnectats. Per això, no s'assemblarà a una lemniscata, fent que el nom no sigui gaire escaient.

Corba de Mandelbrot M2 de grau vuit i gènere nou
Lemniscates de Mandelbrot 1–6 per a Er = 2

Un exemple interessant de tals lemniscates polinòmiques són les corbes de Mandelbrot. Si es fixa p0 = z, i pn = pn −12 + z, llavors les lemniscates polinòmiques corresponents Mn definides per|pn(z)| = Er convergeixen la frontera del conjunt de Mandelbrot. Si Er < 2 queden dins, si Er ≥ 2 a fora del conjunt de Mandelbrot.

Referències[modifica | modifica el codi]

  • Alexandre Eremenko and Walter Hayman, On the length of lemniscates, Michigan Math. J., (1999), 46, núm. 2, 409–415 «Enllaç».
  • O. S. Kusnetzova and V. G. Tkachev, Length functions of lemniscates, Manuscripta Math., (2003), 112, 519–538 «Enllaç».