Llei de Gauss

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En física i anàlisi matemàtica, la llei de Gauss, estretament relacionada amb el teorema de la divergència, dóna la relació entre el flux elèctric o gravitacional que surt d'una superfície tancada i la càrrega elèctrica tancada dins aquesta mateixa superfície. Aquesta llei, enunciada per Carl Friedrich Gauss, pot ser usada en qualsevol context on es doni la llei de la inversa del quadrat, com per exemple la Llei de la gravitació universal de Newton i l'electrostàtica. És una de les quatre equacions de Maxwell, bàsiques a la teoria electromagnètica.

Forma integral[modifica | modifica el codi]

En la seva forma integral, la llei de Gauss estableix:

\Phi = \oint_S \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{A} 
= {1 \over \varepsilon_o} \int_V \rho\ \mathrm{d}V = \frac{Q_A}{\varepsilon_o}

on \Phi és el flux elèctric, \mathbf{E} és el camp elèctric, d\mathbf{A} és un diferencial d'àrea de la superfície tancada S perpendicular a aquesta superfície i dirigit cap a fora, Q_\mathrm{A} és la càrrega tancada dins la superfície, \rho és la densitat de càrrega en un punt del volum V definit per la superfície, \epsilon_o és la permitivitat del buit i \oint_S és la integral de la superfície S que tanca el volum V.


Forma diferencial[modifica | modifica el codi]

En forma diferencial, l'equació de Gauss esdevé:

\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho_{\mathrm{lliure}}

on \nabla és l'operador nabla que representa la divergència, D és el desplaçament elèctric (en unitats de C/m²), i ρ és la densitat de càrrega elèctrica lliure (en unitats de C/m³), sense incloure les càrregues dipolars lligades al material. La forma diferencial del Teorema de Gauss deriva parcialment del Teorema de la Divergència de Gauss.

Per a materials lineals, l'equació esdevé:

\vec{\nabla} \cdot \varepsilon \vec{E} = \rho_{\mathrm{lliure}}

on \varepsilon és la permitivitat elèctrica.

La llei de Coulomb[modifica | modifica el codi]

Article principal: Llei de Coulomb

En el cas especial d'una superfície esfèrica amb una càrrega central, el camp elèctric és perpendicular a la superfície, amb la mateixa magnitud a tot els seus punts, seguint l'expressió més simple:

E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^{2}}

on E és la força del camp elèctric al radi r, Q és la càrrega tancada, i ε0 és la permitivitat del buit. Fins aquí la dependència del camp elèctric de la familiar llei de la inversa del quadrat a la llei de Coulomb segueix la llei de Gauss.

La llei de Gauss pot ser utilitzada per demostrar que no hi ha un camp elèctric dins d'una gàbia de Faraday ni càrregues elèctriques. La llei de Gauss és l'equivalent electrostàtic de la llei d'Ampère, les dues equacions foren integrades dins de les equacions de Maxwell.

Va ser formulada el 1835 per Carl Friedrich Gauss però no es va publicar fins al 1867. A causa de la similaritat matemàtica, la llei de Gauss té aplicacions a altres magnituds físiques regides per la llei de la inversa del quadrat, com la gravitació o la intensitat de la radiació.

Analogia gravitacional[modifica | modifica el codi]

Atès que tant la gravetat com l'electromagnetisme tenen forces que es propaguen de manera relativa al quadrat de la distància entre dos objectes, es pot relacionar els dos utilitzant la llei de Gauss examinant els respectius vectors de camp \vec{g} i \vec{E}, on

\vec{g} = -G\frac{m}{\vec{r}^2}\hat{r},

i

\vec{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{\vec{r}^2}\hat{r},

on G és la constant de la gravitació, m és la massa del punt origen, r és el radi, la distància, entre el punt origen i un altre objecte, \varepsilon_{0} és la permitivitat del buit, i q és la càrrega del punt elèctric origen.

De la mateixa manera que s'avalua la integral de superfície per l'electromagnetisme per tenir el resultat \frac{q}{\varepsilon_{0}}, es pot escollir una superfície Gaussiana adequada per trobar una resposta pel flux gravitacional. Per una massa puntual centrada a l'origen del sistema de coordenades, l'elecció més lògica és una esfera de radi r centrada a l'origen.

Es comença amb la forma integral de la llei de Gauss:

\Phi_{g} = \oint_S \vec{g} \cdot \mathrm{d}\vec{A}.

Un element infinitesimal d'àrea és l'àrea de l'angle sòlid infinitesimal, que es defineix com:

\mathrm{d}\vec{A} =   r^{2} \mathrm{d}\Omega \hat{r}.

La superfície Gaussiana és escollida de tal manera que el vector perpendicular a la superfície sigui radial a l'origen. Amb

\Phi_{g} = \oint_S g(r)  \hat{r} \cdot \hat{r} r^{2} \mathrm{d}\Omega,

es veu que el producte de dos vectors radials és unitari i que les dues magnituds del camp, \vec{g}, i el quadrat de la distància entre la superfície i el punt, r^{2}, es mantenen constants per a cada element de la superfície. Això dóna la integral

\Phi_{g} = g(r) r^{2} \oint_S  \mathrm{d}\Omega.

La superfície integral que queda és l'àrea de la superfície de l'esfera (4 \pi r^{2}). Si es combina això amb l'equació del camp gravitacional, es té una expressió per al flux del camp gravitacional d'una massa puntual.

\Phi_{g} = -\frac{Gm}{r^2} 4 \pi r^{2} = -4\pi Gm

És interessant ressaltar que el flux gravitacional, igual que l'homòleg electromagnètic, no depèn del radi de l'esfera.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]