Llei de Titius-Bode

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Johann Daniel Titius
Johann Elert Bode

La llei de Titius-Bode, de vegades denominada només llei de Bode, relaciona la distància d'un planeta al Sol amb el nombre d'ordre del planeta mitjançant una regla simple. Matemàticament es tracta d'una successió que facilita la distància d'un planeta al Sol. Es tracta d'una relació purament numèrica i que no sembla tenir cap relació intrínseca amb les propietats físiques del sistema solar.

La llei original, descoberta al segle XVIII, es pot expressar com

a = \frac{n+4}{10}

on n = 0, 3, 6, 12, 24, 48, ... amb cada valor de n dues vegades el valor anterior i on a representa el semieix major de l'òrbita. És a dir, formem la successió:

0, 3, 6, 12, 24, 48, 96, ...

Ara afegim 4 a la successió anterior:

4, 7, 10, 16, 28, 52, 100, ...

Dividim per 10 la successió anterior:

0,4, 0,7, 1, 1,6, 2,8, 5,2, 10,0, ...

En aquella època només es coneixien els planetes clàssics Mercuri, Venus, Terra, Mart, Júpiter i Saturn que disten del Sol:

0,38, 0,72, 1, 1,52, 5,2, 9,54

Descobriment i importància històrica[modifica | modifica el codi]

La llei fou descoberta el 1766 per Johann Daniel Titius i la hi va atribuir el 1772 el director de l'Observatori de Berlín, Johann Elert Bode, d'aquí el nom. No obstant això, alguns afirmen que el primer en proposar-la va ser Christian Wolff en 1724.

El descobriment d'Urà per William Herschel en 1781 que estava a 19,18 UA no va fer més que confirmar la llei publicada només tres anys abans i va fer veure que en el quart lloc a 2,8 UA faltava un planeta. En el congrés astronòmic que va tenir lloc a Gotha, Alemanya, el 1796, el francès Joseph Lalande va recomanar la seva recerca. Entre cinc astrònoms es van repartir el zodíac en la recerca del cinquè planeta i finalment l'1 de gener de 1801, a l'Observatori de Palerm el monjo Giuseppe Piazzi, que no pertanyia a la comissió de recerca, va descobrir Ceres el primer dels planetes menors. El dia 3 de gener el cos s'havia desplaçat un terç de lluna cap a l'oest. Fins al 24 no va publicar el seu descobriment creient que era un estel. Carl Friedrich Gauss va inventar ex professo per a Ceres un procediment de càlcul de l'òrbita amb la condició d'aprofitar les poques dades de l'òrbita aconseguits per Piazzi. Calculada la seva òrbita va resultar un cos que orbitava entre Mart i Júpiter és a dir el cos que faltava segons la llei de Bode.

La llei de Bode, àdhuc podent ser només una curiositat matemàtica, va tenir una gran importància en el desenvolupament de l'astronomia de finals del segle XVIII i principis del segle XIX.

Formulacions modernes de la llei de Bode[modifica | modifica el codi]

La formulació moderna és que la distància d'un planeta al Sol en UA és:

a = 0,4 + 0,3\times k

on k = 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 (0 seguits per les potències de 2)

Per als planetes exteriors, el primer terme és menyspreable, i la interpretació és que cada planeta està aproximadament dues vegades més lluny del sol que l'últim. És a dir, les distàncies dels planetes estan en progressió geomètrica: La distància d'un planeta al Sol és dues vegades la distància al Sol de l'anterior.

Les distàncies dels planetes calculats per la llei de Bode comparades amb les reals són:

Planeta k Distància llei T-B Distància real
Mercuri 0 0,4 0,39
Venus 1 0,7 0,72
Terra 2 1,0 1,00
Mart 4 1,6 1,52
Cinturó d'asteroides[1] 8 2,8 2,77
Júpiter 16 5,2 5,20
Saturn 32 10,0 9,54
Urà 64 19,6 19,2
Neptú n/a[2]   30,06
Plutó 128 38,8 39,44

Una altra manera d'expressar la llei de Bode[modifica | modifica el codi]

a = 0.4 + 0.3\times k
a = 0.4 + 0.3\times 2^{n-2}

Per al cas n = 1 a = 0,4

Si deixam de banda el 0,4 i prenem uns valors per ajustar:

a = p\times q^{n-2}

passant a logaritmes:

 \log a =\log p + (n-2)\times log q

operant:

\log a = n\times r+s

És a dir, prenent logaritmes de les distàncies podem ajustar per mínims quadrats a una recta.

Per als planetes exteriors, si els logaritmes de les distàncies van en progressió aritmètica és perquè les distàncies van el progressió geomètrica. Bode pensava que la raó de la progressió era 2 però quan es fa l'ajustament és només 1,71. El resultat és, considerant a Plutó i prenent com a unitat de distància el km:

\log a = 0,233058\times n + 7,5119

amb n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 i una correlació r = 0,9971.

Podem comparar les dues lleis amb els valors reals:

Denominació n a (U.A.) a Bode a (log)
Mercuri 1 0,387 0,4 0,372
Venus 2 0,723 0,7 0,636
Terra 3 1,000 1 1,087
Mart 4 1,523 1,6 1,859
Asteroides[1] 5 2,8 3,179
Júpiter 6 5,203 5,2 5,437
Saturn 7 9,539 10 9,299
Urà 8 19,184 19,6 15,903
Neptú 9 30,060 n/a 27,198
Plutó[2] 10 39,759 38,8 46,514

Aquesta nova manera de veure les coses té diversos avantatges:

  • El primer terme de la successió (Mercuri) sempre era especial, ara és un més.
  • El terme 0,4 es col·loca per a ajustar els planetes interiors, aquí és inexistent.
  • Per a Neptú no es complia. Ara sí.

El problema de Plutó[modifica | modifica el codi]

Es pot considerar que Plutó no és un planeta, ja que pertany al Cinturó de Kuiper. És un plutino és a dir pertany als asteroides transneptunians que estan en ressonància 3/2 amb Neptú, el que significa que cada 3 voltes de Neptú al Sol l'asteroide dóna 2 voltes. Això suposa un període per a l'asteroide T=3/2 * 164,7900 anys=247,185 anys. Per la tercera llei de Kepler a= T2/3=39,3865 O.A. i una relació de distàncies: 39,386/30,06=1,31 per sota de la mitjana.

Si consideram que Plutó no és planeta i ho llevem de l'ajustament i usem la unitat astronòmica:

\ln a =0,5497 \times n -1,5723 amb n=1,2,3,4,5,6,7,8,9

per tant:

 a =0,2075 \times (1,7327)^n amb n=1,2,3,4,5,6,7,8,9

Explicació teòrica[modifica | modifica el codi]

No hi ha cap explicació teòrica sòlida de la llei de Titius-Bode, i no està reconegut si és simplement una coincidència numèrica o una regla més fonamental de la mecànica celeste.

Quan originalment es va publicar, la llei era satisfeta per tots els planetes coneguts- des de Mercuri fins a Saturn-amb un buit entre el quart i el cinquè planeta. Es va considerar interessant, però de cap gran importància, fins al descobriment d'Urà el 1781 què va encaixar polidament en la sèrie. Basat en la seva nova credibilitat, Bode va iniciar la recerca del cinquè planeta. Ceres, el més gran dels asteroides en el Cinturó d'Asteroides, es va trobar a la posició del cinquè planeta. La llei de Bode es va acceptar llavors àmpliament fins que es va descobrir en el 1846 Neptú que no complia la llei. Amb l'ajustament logarítmic a una recta, queda salvat aquest escull i es pot veure que també és aplicable als satèl·lits del Sistema Solar. Pel que és clar que té a veure amb el procés de formació dels sistema planetaris.

Actualment l'explicació més probablement és que la ressonància orbital dels planetes crea regions al voltant del Sol sense matèria o que l'acreció dels planetes al formar-se hagi netejat de matèria una zona al voltant d'on s'han format. Els resultats de la simulació de formació planetària semblen donar suport la idea que la llei Titius-Bode és una conseqüència natural de formació planetària, segons les teories actuals en aquesta àrea.

Aplicació als Sistemes de satèl·lits[modifica | modifica el codi]

Hi ha només un limitat nombre de sistemes en els que la llei de Bode es pogués provar. Júpiter, Saturn i Urà tenen diverses llunes grans que apareixen haver estat creats per un procés similar al que va crear els planetes. En l'aplicació als satèl·lits hem de tenir present que han de descartar-se tots aquells que no han estat formats en les proximitats del planeta sinó capturats per la gravetat d'aquest. Aquests cossos es caracteritzen per ser petits, girar en un plànol molt distint dels satèl·lits grans o fins i tot tenir un moviment retrògrad.

Aplicació als satèl·lits de Júpiter[modifica | modifica el codi]

Els quatre satèl·lits galileans de Júpiter més el satèl·lit intern més gran Amaltea compleixen perfectament la llei de Bode:

\log a =0,2417 \times n +5,0724 con n=1,2,3,4,5


i una correlació r=0,9925.

Amaltea cal considerar-lo perquè a pesar de tenir només 200 km. gira en l'òrbita dels satèl·lits galileans.

resulta:

 a =e^{0,55992 \times n +11,6796}
 a =118137,8 \times (1,75053)^n

En radis del planeta:

 a =1,6524 \times (1,75053)^n

Observem que d'un planeta al següent en el Sistema Solar o en els Satèl·lits de Júpiter el valor és molt similar.

Per a qui tingui dubtes podem igual que Bode crear una successió:

0,3,6,12,24 formada pel 0 i una progressió geomètrica amb primer terme 3 i raó 2.

Ara afegim 3 a cadascun dels termes:

3,6,9,15,27

Les distàncies dels cinc satèl·lits a Júpiter en ràdios del planeta és:

2,5, 5,9, 9,4, 15,0, 26,3 l'ajustament és perfecte.

Si consideram només els 4 satèl·lits galileans l'ajustament és encara més perfecte:

\log a =0,21423\times n +5,4024 con n=1,2,3,4

i una correlació r=0,99873.

En radis del planeta:

 a =3,53276 \times (1,63768)^n

Aplicació als satèl·lits d'Urà[modifica | modifica el codi]

Les llunes grans d'Urà tenen una adaptació a la llei de Bode magnífica:

\log a =0,169036\times n +4,9432 amb n=1,2,3,4,5

i una correlació r=0,9943.

és a dir:

 a =87738 \times (1,47583)^n en Km.

En radis del planeta:

 a =3,5505524 \times (1,47583)^n

Aplicació als satèl·lits de Saturn[modifica | modifica el codi]

L'aplicació a les llunes de Saturn presenta més problemes. El que s'ha fet és ajustar als satèl·lits grans més interns: Janus, Acarones, Encelade, Tetis, Dione i Rea amb n=1 fins a 6. Ara ajustem els altres fins que caiguin sobre la recta. Hem de deixar els buits 7 i 8 fins a arribar A Tità i Hiperió que serien n=9 i 10 respectivament. Jàpet seria el n=13 i Febe el n=18:

Amb això l'ajust seria:

\log a =0,11564\times n +5,0305 con n=1,2,3,4,5,6,9,10,13,18

i una correlació de 0,9995.

és a dir:

 a =107272,6 \times (1,30509)^n en Km.

En radis del planeta:

 a =1,79157 \times (1,30509)^n

Aplicació a planetes extrasolars[modifica | modifica el codi]

Els recents descobriments de sistemes planetaris extrasolars no proporcionen prou dades encara per a provar si la regla s'aplica a altres sistemes solars. No obstant això l'aplicació als satèl·lits del Sistema Solar fa pensar que si serà aplicable quan la precisió de les observacions permeti descobrir planetes extrasolars tipus Terra.

Notes[modifica | modifica el codi]

  1. El cinturó d'asteroides ha de ser considerat un planeta per a cobrir el buit de k = 8, el nombre pres per a la distància al Sol (2,77 UA) és realment el de l'asteroide més gran del Cinturó Ceres que va ser considerat al principi també un planeta.
  2. Neptú viola la llei caient a mig camí entre k = 64 i k = 128. No obstant això, l'estatut de Plutó com planeta està sota discussió, ara es pensa que pertany al Cinturó de Kuiper, on ni tan sols és el planeta més gran.