Llei del paral·lelogram

Un paral. Els costats d'aquest estan mostrats en color blau i les diagonals en vermell.

En matemàtiques, la forma més simple de la llei del paral·lelogram pertany a la geometria elemental. Aquesta postula que la suma dels quadrats de les longituds dels quatre costats d'un paral·lelogram és igual a la suma dels quadrats de les longituds de les dues diagonals del mateix. Utilitzant la notació del paral·lelogram mostrat en la figura de la dreta, es pot escriure matemàticament com:

$(AB)^2+(BC)^2+(CD)^2+(DA)^2=(AC)^2+(BD)^2.\,$

En el cas que el paral sigui un rectangle, les dues diagonals són iguals i la llei es redueix al teorema de Pitàgores. Però en general, no es compleix que el quadrat d'una diagonal sigui igual a la suma dels quadrats de dos costats.

Llei del paral per a espais amb producte intern

Dins dels espais proveïts de producte escalar, la definició de la llei del paral·lelogram es redueix a la identitat algebraica

$2\|x\|^2+2\|y\|^2=\|x+y\|^2+\|x-y\|^2$

on

$\|x\|^2=\langle x, x\rangle.\,$

és el producte escalar normat.

Espais vectorials normats que satisfan la llei del paral·lelogram

La majoria de espais vectorials normats reals i complexos no tenen producte intern, però tots els espais vectorials normats tenen norma (per definició), i per tant es poden avaluar les expressions a banda i banda del "=" de la identitat anterior. Un fet notable és que si la identitat anterior es manté, aleshores la norma ha de sorgir de la manera habitual d'algun producte intern. A més, el producte intern que es genera mitjançant la norma és únic, com a conseqüència de la identitat de polarització, en el cas real, aquest ve donat per

$\langle x, y\rangle={\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\over 4},\,$

o, equivalentment, per

${\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\over 2} \ \ \rm{\acute{o}} \ \ {\|x\|^2+\|y\|^2-\|x-y\|^2\over 2}.\,$

En el cas complex, aquest ve donat per

$\langle x, y\rangle={\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\over 4}+i{\|ix-y\|^2-\|ix+y\|^2\over 4}.$

Vegeu també

• Paral·lelogram
• Desigualtat triangular

Enllaços externs

• Parallelogram Law Proven Simply a Kappa Sigma
• The Parallelogram Law: A Proof Without Words En cut-the-Knot
• Proof of Parallelogram Law a Math
• Weisstein, Eric W., "Parallelogram Law" a MathWorld (en anglès).