Llei quadràtic-cúbica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
La llei quadràtic-cúbica va ser esmentada per primera vegada en Due Nuove Scienze (1638).

La llei quadràtic-cúbica és un principi matemàtic-geomètric, aplicat en diversos camps científics i tècnics, que descriu la relació entre volum i àrea d'un cos a mesura que augmenta o disminueix la seva forma o figura. Va ser descrita per primera vegada el 1638 per Galileu Galilei a la seva obra :"Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno a due nuove scienze".

En termes generals aquest principi estableix que, quan una forma creix en grandària, el seu volum creix més ràpid que la seva superfície. Quan s'aplica al món real, aquest principi té moltes implicacions que són importants en camps que van des de la enginyeria mecànica a la biomecànica. Això ajuda a explicar gran varietat de fenòmens, per exemple el perquè a grans mamífers com els elefants els costa més refredar, que als més petits com els ratolins, i per què hi ha límits fonamentals per la mida dels castells de sorra.

Descripció[modifica | modifica el codi]

La llei del quadrat-cub pot enunciar de la manera següent:

Quan un objecte es sotmet a un augment proporcional en grandària, el seu nou volum és proporcional al cub del multiplicador i la seva nova superfície és proporcional al quadrat del multiplicador.

Representa matemàticament:

 V_2 = v_1 \left (\frac{\ell_2}{\ell_1}\right)^3

on  v_1 és el volum original,  v_2 és el nou volum,  \ell_1 és la longitud original i  \ell_2 és la nova longitud.

 A_2 = A_1 \left (\frac{\ell_2}{\ell_1}\right)^2

on  A_1 és l'àrea original i  A_2 és la nova àrea.

Per exemple, un cub amb una aresta (longitud lateral) d'1 metre, té una superfície de 6 m 2 i un volum d'1 m 3 . Si les dimensions del cub es dupliquen, la seva superfície seria 24 m 2 i el seu volum 8 m 3 . Aquest principi s'aplica a tots els sòlids.

Enginyeria[modifica | modifica el codi]

Quan a un objecte físic, mantenint la mateixa densitat, se li s'engrandeix, la seva massa s'incrementa pel cub del multiplicador, mentre que la seva superfície només augmenta pel quadrat d'aquest multiplicador. Així doncs, quan l'objecte final s'accelera al mateix ritme que l'original, més pressió s'exerceix sobre la superfície d'aquest.

Vegem un exemple simple d'un cos de massa M , amb una acceleració a , i una superfície A , sobre la qual actua la força d'acceleració. La força deguda a l'acceleració,  F = M a , i la pressió d'empenta,  T = \frac{F}{A}= M \frac{a}{A}.


Ara, considerem l'objecte augmentat per un factor multiplicador = x per tant la nova massa seria,  M '= x^3 M , i la nova superfície sobre la qual la força està actuant,  A '= x^2 A .

La nova força deguda a l'acceleració  F '= x^3 Ma i la pressió d'empenta resultant,

\begin{align}
T' &= \frac{F'}{A'}\\
   &= \frac{x^3}{x^2} \times M\frac{a}{A}\\
   &= x \times M \frac{a}{A}\\
   &= x \times T\\
\end{align}

Per tant, l'augment de la mida d'un objecte, mantenint el mateix material de construcció (densitat), i la mateixa acceleració, podria augmentar l'empenta pel mateix factor d'escala. Això indicaria per què l'objecte tindria menys capacitat per resistir l'estrès i seria més propens al col·lapse mentre s'accelera.

Per això vehicles de grans dimensions donen baix rendiment en les proves de xoc i per què hi ha límits pel que fa a l'alçada dels edificis. De la mateixa manera, com més gran és un objecte, altres objectes petits resisteixen menys el seu moviment, evitant que desacceleri.

Exemples en enginyeria[modifica | modifica el codi]

Al Airbus A380 les ales i superfícies de control (timons i elevadors) són relativament grans en comparació amb el fuselatge de l'avió. En un Boeing 737 aquestes relacions semblen ser molt més "proporcionades", però si el disseny del 380 hagués estat un simple augment de les dimensions del disseny del 737, resultarien ales massa petites per el pes de l'aeronau.

Un clíper necessita relativament més superfície de vela que un sloop per aconseguir la mateixa velocitat, és a dir, hi ha més relació entre la superfície de les veles que entre la relació de pesos.

Biomecànica[modifica | modifica el codi]

Si un animal s'ampliés en una quantitat considerable, la seva força muscular relativa seria molt reduïda, ja que la secció transversal dels seus músculs s'incrementaria només pel quadrat del factor d'escala, mentre que la seva massa s'incrementaria pel cub del factor d'escala. Com a resultat, les funcions cardiovasculars i respiratòries, es veurien greument compromeses.

En el cas d'animals voladors, la càrrega alar seria major si aquests s'ampliaran, i per tant haurien de volar més ràpid per obtenir la mateixa quantitat de sustentació. La resistència de l'aire per unitat de massa és també més alta per als animals més petits, de manera que un animal petit com una formiga no pot ser aixafat per la caiguda des d'una altura considerable.

Com va aclarir JBS Haldane, els animals grans no s'assemblen als animals petits: un elefant no pot ser confós amb un ratolí de mida ampliat. Els ossos d'un elefant són necessàriament proporcionalment molt més grans que els ossos d'un ratolí, ja que han de portar el pes proporcionalment major. Per citar l'assaig seminal de Haldane Ser de la mida correcta , "... considerar un home de 60 peus d'altura ... els gegants Pope i Pagan que apareixen a El Progrés del Pelegrí .... Aquests monstres ... pesen 1.000 vegades més que Cristian. Cada polzada quadrada d'un os de gegant ha de suportar 10 vegades el pes que suporta per una polzada quadrada un os humà. Com el fèmur humà es trenca amb prop de 10 vegades el pes humà, Pope i Paguen trencarien seus fèmurs cada vegada que donessin un pas. "

Els animals gegants que es veu en les pel·lícules de terror (per exemple, Godzilla o King Kong) també són poc realistes, ja que la seva mida els obligaria a col·lapsar. No obstant això, no és cap coincidència que els animals més grans que existeixen avui en dia siguin gegants animals aquàtics, ja que la flotabilitat de l'aigua contraresta, en certa mesura els efectes de la gravetat. Per tant, les criatures del mar poden créixer a mides molt grans sense les mateixes estructures musculoesquelètiques que es requeriria en les criatures terrestres de mida similar.

Temes relacionats[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]