Lleis de Kepler

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Representació de la primera i la segona lleis de Kepler. Podem veure, en primer lloc, com el Sol se situa en un dels focus. En segon lloc, com que en temps iguals les àrees escombrades pel planeta són iguals. Per tant, el planeta es mourà de pressa a prop del Sol i lentament lluny.

Les lleis de Kepler van ser enunciades per Johannes Kepler per a descriure el moviment dels planetes en les seves òrbites al voltant del Sol.

  • 1a Llei (1609): Tots els planetes es desplacen al voltant del Sol descrivint òrbites el·líptiques, estant el Sol situat en un dels focus de la dita el·lipse.
  • 2a Llei (1609): El radivector que uneix el planeta amb el Sol escombra àrees iguals en temps iguals. Per tant, el planeta es desplaça més ràpidament quan està en el periheli que quan està en l'afeli(vegeu figura). Aquesta llei és conseqüència de la llei de conservació del moment angular, la qual és conseqüència de les lleis de Newton.
  • 3a Llei (1618): Per a qualsevol planeta, el quadrat del seu període orbital o temps que tarda a donar un retorn al Sol, és directament proporcional al cub de la distància mitjana amb el Sol o el cos al voltant del qual gira un altre cos: T^2 = k \cdot R^3\,. (sent \,T el període orbital; \,R la distància mitjana; \,k aproximadament igual a 1 any2/UA3). Com major és la distància mitjana entre un planeta i el Sol, més temps tarda a completar la seva òrbita.

Aquestes lleis s'apliquen a qualsevol cos orbitant al voltant d'un altre (per exemple la Lluna o els satèl·lits artificials i la Terra), sempre que negligim la influència de tercers cossos. Quan no parlem d'orbitar al voltant del Sol, la constant k esmentada a la tercera llei prendrà un altre valor, que serà proporcional a la massa del cos central.

Formulació de Newton de la III llei de Kepler[modifica | modifica el codi]

Kepler no va presentar les seves lleis en forma neta i concisa, sinó en llibres que contenien gran quantitat de detalls i inclús especulacions metafísiques. Va ser Isaac Newton el que va extreure les lleis dels seus escrits, i les va relacionar amb els seus propis descobriments, donant sentit físic al que eren simplement lleis empíriques. Newton va deduir:

\,T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}R^3

on:


Newton va descobrir la llei de la gravitació universal i va poder desenvolupar, a partir d’aquesta, la 3a llei de Kepler (vegeu més amunt). Kepler va obtenir aquesta llei empíricament, és a dir, obtenint dades i formulant una conclusió, procedint pel mètode inductiu; mentre que Newton va obtenir aquesta llei racionalment i matemàticament, deduint-la a partir de la seva llei de la gravitació universal. La 3a llei de Kepler es pot expressar matemàticament d’aquesta manera:

\,T^2=kR^3

On \,T és el període, \,R és la distància mitjana d’un cos que gira a un altre al voltant del qual gira i \,k és una constant que equival, més o menys, per al Sol com a massa central i la Terra com a planeta, a 2,95·10-19 s2·m-3, o el que és el mateix a 1 any2/UA3.

La reformulació matemàtica de la llei de la gravitació universal que el va dur a aquesta llei anterior és la següent:

Primerament tenim la llei de la gravitació universal,

\vec{F}=G\frac{Mm}{R^2}=\frac{mv^2}{R}

Com que \,v=\frac{2 \pi R}{T} substituïm \,v i simplifiquem l’expressió,

G \frac {M m}{R^2} = \frac{m4 \pi^2 R^2} {RT^2} \Longrightarrow {G \frac {M}{R} = \frac {4\pi^2R^2}{T^2}} \Longrightarrow {T^2 = \frac {4\pi^2}{GM}R^3}

On \,4\pi^2/GM és la constant k de la 3a llei de Newton esmentada abans. Així ens queda finalment,

\,T^2=kR^3
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Lleis de Kepler Modifica l'enllaç a Wikidata