Llista de transformacions canòniques de coordenades

Aquesta és una llista de transformacions canòniques de coordenades.

Bidimensionals

Siguin (x, y) les coordenades cartesianes estàndard, i r i θ los coordenades polars estàndard.

Per passar de coordenades polars a coordenades cartesianes

$x=r\,\cos\theta \quad$

$y=r\,\sin\theta \quad$

$\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\,\sin\theta \\ \sin\theta & r\,\cos\theta \end{pmatrix}$

$\det{\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}} = r$

Per passar de coordenades cartesianes a coordenades polars

$r=\sqrt{x^2 + y^2}$

$\theta^\prime = \arctan\left|\frac{y}{x}\right|$

Nota: al resoldre $\theta^\prime$ s'obté l'angle resultant en el primer quadrant ($0<\theta<\frac{\pi}{2}$). Per torbar $\theta$, cal acudir al sistema de coordenades cartesianes original, determinar el quadrant en el que està $\theta$ (per exemple el punt de coordenades cartesianes (3,-3) està al quart quadrant), i llavors fer servir les següents equacions per calcular $\theta$:

Si $\theta^\prime$ està al primer quadrant:

$\theta = \theta^\prime$

Si $\theta^\prime$ està al segon quadrant:

$\theta= \pi - \theta^\prime$

Si $\theta^\prime$ està al tercer quadrant:

$\theta = \pi + \theta^\prime$

Si $\theta^\prime$ està al quart quadrant:

$\theta = 2\pi - \theta^\prime$

Això cal fer-hi així perquè per a tots els valors de $\theta$, $\arctan\theta$ només està definit per $-\frac{\pi}{2}<\theta<+\frac{\pi}{2}$

Fixeu-vos que també es pot fer servir

$r=\sqrt{x^2 + y^2}$

$\theta = 2 \arctan \frac{y}{x+r}$

De coordenades bipolars a coordenades cartesianes

$x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma}$

$y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma}$

De coordenades bipolars de dos centres a coordenades cartesianes

$x = \frac{r_1^2-r_2^2}{4c}$

$y = \pm \frac{1}{4c}\sqrt{16c^2r_1^2-(r_1^2-r_2^2+4c^2)^2}$

De coordenades bipolars de dos centres a coordenades polars

$r = \sqrt{\frac{r_1^2+r_2^2-2c^2}{2}}$

$\theta = \arctan \left[ \sqrt{\frac{8c^2(r_1^2+r_2^2-2c^2)}{r_1^2-r_2^2}-1}\right]$

On 2c és la distància entre els pols.

De coordenades de l'equació de Cesàro a coordenades cartesianes

$x = \int \cos \left[\int \kappa(s) \,ds\right] ds$

$y = \int \sin \left[\int \kappa(s) \,ds\right] ds$

Curvatura i longitud del arc a partir de coordenades cartesianes

$\kappa = \frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$

$s = \int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt$

Curvatura i longitud del arc a partir de coordenades polars

$\kappa=\frac{r^2+2r'^2-rr''}{(r^2+r'^2)^{3/2}}$

$s = \int_a^\phi \sqrt { 1 + y'^2 }\, d\phi$

Tridimensionals

Sigui (x, y, z) les coordenades cartesianes estàndard, i (ρ, θ, φ) les coordenades esfèriques, amb l'angle φ mesurat a partir de l'eix Z positiu. Com que θ té un recorregut de 360° cal aplicar les mateixes consideracions que en coordenades polars (de dues dimensions) sempre que es calculi a partir de la funció arctangent. φ té un recorregut de 180°, i va des de 0° fins a 180°, i no presenta cap problema quan es calcula a partir de la funció arccosinus, però cal anar en compte si es fa servir una funció arctangent. Si, en la definició alternativa de coordenades esfèriques, es tria φ de forma que vagui des de −90° fins a +90°, en direcció oposada a la direcció prèvia, es pot calcular de manera única a partir de la funció arcsinus, però cal anar en compte di es fa servir la arctangent. En aquest cas totes les fórmules següents tots els arguments de φ han te tenir el sinus i el cosinus intercanviats i com a derivades també els signes menys i més s'han d'intercanviar.

Totes les fórmules que portin cap a una fracció amb zero al denominador, corresponen a cassos especials de direccions al llarg dels eixos principals i a la pràctica se solucionen més fàcilment per observació.

A coordenades cartesianes

A partir de coordenades esfèriques

${x}=\rho \, \sin\theta \, \cos\phi \quad$

${y}=\rho \, \sin\theta \, \sin\phi \quad$

${z}=\rho \, \cos\theta \quad$

$\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(\rho, \theta, \phi)} = \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\phi& \rho\cos\theta\cos\phi & -\rho\sin\theta\sin\phi \\ \sin\theta\sin\phi & \rho\cos\theta\sin\phi & \rho\sin\theta\cos\phi \\ \cos\theta & -\rho\sin\theta & 0 \end{pmatrix}$

Per tant, l'element de volum és:

$dx\;dy\;dz=\det{\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(\rho, \theta, \phi)}} d\rho\;d\theta\;d\phi = \rho^2 \sin\theta \; d\rho \; d\theta \; d\phi \;$

=A partir de coordenades cilíndriques

${x}={r} \,\cos\theta$

${y}={r} \, \sin\theta$

${z}={h} \,$

$\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, h)} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Per tant l'element de volum és:

$dx\;dy\;dz=\det{\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, h)}} dr\;d\theta\;dh = {r}\; dr \; d\theta \; dh \;$

A coordenades esfèriques

A partir de coordenades cartesianes

${\rho}=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

${\theta}=\arctan \left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z} \right)=\arccos \left( {\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}} \right)$

${\phi}=\arctan \left( {\frac{y}{x}} \right)= \arccos \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) = \arcsin \left( \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$

$\frac{\partial(\rho, \theta, \phi)}{\partial(x, y, z)} = \begin{pmatrix} \frac{x}{\rho} & \frac{y}{\rho} & \frac{z}{\rho} \\ \frac{xz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{yz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{-(x^2+y^2)}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}\\ \frac{-y}{x^2+y^2} & \frac{x}{x^2+y^2} & 0\\ \end{pmatrix}$

A partir de coordenades cilíndriques

${\rho}=\sqrt{r^2+h^2}$

${\theta}=\theta \quad$

${\phi}=\arctan\frac{r}{h}$

$\frac{\partial(\rho, \theta, \phi)}{\partial(r, \theta, h)} = \begin{pmatrix} \frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}} & 0 & \frac{h}{\sqrt{r^2+h^2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{-h}{r^2+h^2} & 0 & \frac{r}{r^2+h^2} \end{pmatrix}$

$\det \frac{\partial(\rho, \theta, \phi)}{\partial(r, \theta, h)} = \frac{1}{\sqrt{r^2+h^2}}$

A coordenades cilíndriques

A partir de coordenades cartesianes

$r=\sqrt{x^2 + y^2}$

$\theta=\arctan\frac{y}{x} + \pi u_0(-x) \, \operatorname{sgn} y$

$h=z \quad$

$\frac{\partial(r, \theta, h)}{\partial(x, y, z)} = \begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\ \frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$

A partir de coordenades esfèriques

$r = \rho \sin \phi \,$

$\theta = \theta \,$

$h = \rho \cos \phi \,$

$\frac{\partial(r, \theta, h)}{\partial(\rho, \theta, \phi)} = \begin{pmatrix} \sin\phi & 0 & \rho\cos\phi \\ 0 & 1 & 0 \\ \cos\phi & 0 & -\rho\sin\phi \end{pmatrix}$

$\det\frac{\partial(r, \theta, h)}{\partial(\rho, \theta, \phi)} = - \rho$

Element de longitud del arc, curvatura i torsió a partir de coordenades cartesianes

$s = \int_0^t \sqrt { x'^2 + y'^2 + z'^2 }\, dt$

$\kappa=\frac{\sqrt{(z''y'-z'y'')^2+(x''z'-z''x')^2+(y''x'-x''y')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{3/2}}$

$\tau=\frac{z'''(x'y''-y'x'')+z''(x'''y'-x'y''')+z'(x''y'''-x'''y'')}{(x'^2+y'^2+z'^2)(x''^2+y''^2+z''^2)}$