Llista de transformacions canòniques de coordenades

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Aquesta és una llista de transformacions canòniques de coordenades.

Bidimensionals[modifica | modifica el codi]

Siguin (x, y) les coordenades cartesianes estàndard, i r i θ los coordenades polars estàndard.

Per passar de coordenades polars a coordenades cartesianes[modifica | modifica el codi]

x=r\,\cos\theta \quad
y=r\,\sin\theta \quad

\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} =
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -r\,\sin\theta \\
\sin\theta & r\,\cos\theta
\end{pmatrix}

\det{\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}} =
r

Per passar de coordenades cartesianes a coordenades polars[modifica | modifica el codi]

r=\sqrt{x^2 + y^2}
\theta^\prime = \arctan\left|\frac{y}{x}\right|

Nota: al resoldre \theta^\prime s'obté l'angle resultant en el primer quadrant (0<\theta<\frac{\pi}{2}). Per torbar \theta, cal acudir al sistema de coordenades cartesianes original, determinar el quadrant en el que està \theta (per exemple el punt de coordenades cartesianes (3,-3) està al quart quadrant), i llavors fer servir les següents equacions per calcular \theta:

Si \theta^\prime està al primer quadrant:
\theta = \theta^\prime
Si \theta^\prime està al segon quadrant:
\theta= \pi - \theta^\prime
Si \theta^\prime està al tercer quadrant:
\theta = \pi + \theta^\prime
Si \theta^\prime està al quart quadrant:
\theta = 2\pi - \theta^\prime

Això cal fer-hi així perquè per a tots els valors de \theta, \arctan\theta només està definit per -\frac{\pi}{2}<\theta<+\frac{\pi}{2}

Fixeu-vos que també es pot fer servir

r=\sqrt{x^2 + y^2}
\theta = 2 \arctan \frac{y}{x+r}

De coordenades bipolars a coordenades cartesianes[modifica | modifica el codi]

Article principal: coordenades bipolars

x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma}

y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma}

De coordenades bipolars de dos centres a coordenades cartesianes[1][modifica | modifica el codi]


x = \frac{r_1^2-r_2^2}{4c}

y = \pm \frac{1}{4c}\sqrt{16c^2r_1^2-(r_1^2-r_2^2+4c^2)^2}

De coordenades bipolars de dos centres a coordenades polars[modifica | modifica el codi]


r = \sqrt{\frac{r_1^2+r_2^2-2c^2}{2}}

\theta = \arctan \left[ \sqrt{\frac{8c^2(r_1^2+r_2^2-2c^2)}{r_1^2-r_2^2}-1}\right]

On 2c és la distància entre els pols.

De coordenades de l'equació de Cesàro a coordenades cartesianes[modifica | modifica el codi]

Article principal: equació de Cesàro

x = \int \cos \left[\int \kappa(s) \,ds\right] ds

y = \int \sin \left[\int \kappa(s) \,ds\right] ds

Curvatura i longitud del arc a partir de coordenades cartesianes[modifica | modifica el codi]

\kappa = \frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}

s = \int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt

Curvatura i longitud del arc a partir de coordenades polars[modifica | modifica el codi]

\kappa=\frac{r^2+2r'^2-rr''}{(r^2+r'^2)^{3/2}}

s = \int_a^\phi \sqrt { 1 + y'^2 }\, d\phi

Tridimensionals[modifica | modifica el codi]

Sigui (x, y, z) les coordenades cartesianes estàndard, i (ρ, θ, φ) les coordenades esfèriques, amb l'angle φ mesurat a partir de l'eix Z positiu. Com que θ té un recorregut de 360° cal aplicar les mateixes consideracions que en coordenades polars (de dues dimensions) sempre que es calculi a partir de la funció arctangent. φ té un recorregut de 180°, i va des de 0° fins a 180°, i no presenta cap problema quan es calcula a partir de la funció arccosinus, però cal anar amb compte si es fa servir una funció arctangent. Si, en la definició alternativa de coordenades esfèriques, es tria φ de forma que vagui des de −90° fins a +90°, en direcció oposada a la direcció prèvia, es pot calcular de manera única a partir de la funció arcsinus, però cal anar amb compte di es fa servir la arctangent. En aquest cas totes les fórmules següents tots els arguments de φ han te tenir el sinus i el cosinus intercanviats i com a derivades també els signes menys i més s'han d'intercanviar.

Totes les fórmules que portin cap a una fracció amb zero al denominador, corresponen a cassos especials de direccions al llarg dels eixos principals i a la pràctica se solucionen més fàcilment per observació.

A coordenades cartesianes[modifica | modifica el codi]

A partir de coordenades esfèriques[modifica | modifica el codi]

Article principal: coordenades esfèriques
{x}=\rho \, \sin\theta \, \cos\phi \quad
{y}=\rho \, \sin\theta \, \sin\phi \quad
{z}=\rho \, \cos\theta \quad

\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(\rho, \theta, \phi)} =
\begin{pmatrix}
\sin\theta\cos\phi& \rho\cos\theta\cos\phi & -\rho\sin\theta\sin\phi \\
\sin\theta\sin\phi & \rho\cos\theta\sin\phi & \rho\sin\theta\cos\phi \\
\cos\theta & -\rho\sin\theta & 0
\end{pmatrix}

Per tant, l'element de volum és:


dx\;dy\;dz=\det{\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(\rho, \theta, \phi)}} d\rho\;d\theta\;d\phi =
\rho^2 \sin\theta \; d\rho \; d\theta \; d\phi \;

=A partir de coordenades cilíndriques[modifica | modifica el codi]

Article principal: coordenades cilíndriques
{x}={r} \,\cos\theta
{y}={r} \, \sin\theta
{z}={h} \,

\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, h)} =
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\
\sin\theta & r\cos\theta & 0 \\
 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Per tant l'element de volum és:


dx\;dy\;dz=\det{\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, h)}} dr\;d\theta\;dh =
{r}\; dr \; d\theta \; dh \;

A coordenades esfèriques[modifica | modifica el codi]

A partir de coordenades cartesianes[modifica | modifica el codi]

{\rho}=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
{\theta}=\arctan \left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z} \right)=\arccos \left( {\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}} \right)
{\phi}=\arctan \left( {\frac{y}{x}} \right)= \arccos \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) = \arcsin \left( \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)



\frac{\partial(\rho, \theta, \phi)}{\partial(x, y, z)} =
\begin{pmatrix}
 \frac{x}{\rho} & \frac{y}{\rho} & \frac{z}{\rho} \\
\frac{xz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{yz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{-(x^2+y^2)}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}\\
\frac{-y}{x^2+y^2} & \frac{x}{x^2+y^2} & 0\\
\end{pmatrix}

A partir de coordenades cilíndriques[modifica | modifica el codi]

{\rho}=\sqrt{r^2+h^2}
{\theta}=\theta \quad
{\phi}=\arctan\frac{r}{h}

\frac{\partial(\rho, \theta, \phi)}{\partial(r, \theta, h)} =
\begin{pmatrix}
\frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}} & 0 & \frac{h}{\sqrt{r^2+h^2}} \\
0 & 1 & 0 \\
\frac{-h}{r^2+h^2} & 0 & \frac{r}{r^2+h^2} 
\end{pmatrix}
 \det \frac{\partial(\rho, \theta, \phi)}{\partial(r, \theta, h)} = \frac{1}{\sqrt{r^2+h^2}}

A coordenades cilíndriques[modifica | modifica el codi]

A partir de coordenades cartesianes[modifica | modifica el codi]

r=\sqrt{x^2 + y^2}
\theta=\arctan\frac{y}{x} + \pi u_0(-x) \, \operatorname{sgn} y
h=z \quad

\frac{\partial(r, \theta, h)}{\partial(x, y, z)} =
\begin{pmatrix}
\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\
\frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}

A partir de coordenades esfèriques[modifica | modifica el codi]

 r = \rho \sin \phi \,
 \theta = \theta \,
 h = \rho \cos \phi \,

\frac{\partial(r, \theta, h)}{\partial(\rho, \theta, \phi)} =
\begin{pmatrix}
\sin\phi & 0 & \rho\cos\phi \\
0 & 1 & 0 \\
\cos\phi & 0 & -\rho\sin\phi
\end{pmatrix}
 \det\frac{\partial(r, \theta, h)}{\partial(\rho, \theta, \phi)} = - \rho

Element de longitud del arc, curvatura i torsió a partir de coordenades cartesianes[modifica | modifica el codi]

s = \int_0^t \sqrt { x'^2 + y'^2 + z'^2 }\, dt
\kappa=\frac{\sqrt{(z''y'-z'y'')^2+(x''z'-z''x')^2+(y''x'-x''y')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{3/2}}
\tau=\frac{z'''(x'y''-y'x'')+z''(x'''y'-x'y''')+z'(x''y'''-x'''y'')}{(x'^2+y'^2+z'^2)(x''^2+y''^2+z''^2)}

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Weisstein, Eric W.. "Bipolar Coordinates." Treasure Troves. 26 May 1999. Sociology and Anthropology China. 14 Feb 2007 «bbs.sachina.pku.edu.cn». [Enllaç no actiu]