Logaritme

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
La gràfica del logaritme en base dos creua l'eix x a 1 i passa pels punts de coordenades (2, 1), (4, 2) i (8, 3). Per exemple, log2(8) = 3 perquè 23 = 8. El gràfic s'acosta arbitràriament a l'eix y, però mai l'interseca.
Gràfiques de les funcions logarítmiques per a diverses bases b: vermell en base e, verd en base 10, i morat en base 1,7. La gràfica talla l'eix de les abscisses a x=1, ja que qualsevol nombre elevat a 0 és 1, i conté el punt (b,1), ja que qualsevol nombre elevat a la potència 1 és ell mateix. La corba s'aproxima, per valors positius de x propers a 0, a l'eix de les ordenades, però no hi arriba, ja que no hi ha cap potència d'un nombre real que valgui 0.

El logaritme d'un nombre en una certa base és l'exponent al qual cal elevar aquesta base per obtenir el nombre donat. Per exemple, el logaritme de 1.000 en base 10 és 3, perquè 1000 és 10 elevat a 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 103. D'una manera més general, si x = by llavors y és el logaritme de x en base b, el qual s'escriu y = logb(x) o y = logb(by) i per tant log10(1000) = log10(103) = 3.

El logaritme en base 10 (b = 10) s'anomena logaritme decimal i té moltes aplicacions en ciència i enginyeria. D'altra banda, el logaritme natural o logaritme neperià té la constant e (≈ 2,718) com a base i s'usa a bastament en matemàtiques pures, especialment en càlcul. Finalment, el logaritme binari utilitza la base 2 (b = 2) i és molt important en informàtica.

Els logaritmes foren introduïts per John Napier a principis del segle XVII com a mitjà per simplificar els càlculs. Foren adoptats ràpidament per navegants, científics, enginyers i altres per dur a terme còmputs de manera més fàcil utilitzant el regle de càlcul i taules de logaritmes. Les tedioses passes que consisteixen en multiplicacions de molts dígits es poden reemplaçar per consultes de taules i sumes simples gràcies a la important propietat logarítmica que postula que el logaritme d'un producte és la suma dels logaritmes dels factors:

 \log_b(xy) = \log_b (x) + \log_b (y) \,

La notació actual dels logaritmes prové de Leonhard Euler, qui els connectà amb la funció exponencial en el segle XVIII.

L'escala logarítmica és útil quan les dades cobreixen una àmplia gamma de valors: el logaritme les redueix a un rang més manejable. Per exemple, el decibel és una unitat logarítmica que quantifica el nivell de pressió sonora, i el pH és una mesura logarítmica de l'acidesa d'una dissolució química. Els logaritmes són molt presents a les fórmules científiques i en mesures de la complexitat computacional i de fractals. Descriuen intervals musicals, apareixen en fórmules de nombres primers i informen alguns models en psicofísica, entre molts altres casos.

De la mateixa manera que el logaritme és l'invers de la potenciació, el logaritme complex és la funció inversa de la funció exponencial aplicada a nombres complexos El logaritme discret n'és una altra variant que té aplicacions en criptografia de clau pública.

Motivació i definició[modifica | modifica el codi]

La idea dels logaritmes és la contrària que l'operació de potenciació, la qual consisteix en elevar un nombre a una potència. Per exemple, el cub (potència tercera) de 2 és 8, ja que 8 és el producte de tres factors de 2:

2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \,

Per tant, d'aquí es desprèn que el logaritme de 8 respecte a la base 2 és 3:

\log_2(8) = 3 \,

Potenciació[modifica | modifica el codi]

La potència tercera d'un nombre qualsevol b és el producte de tres factors de b. D'una manera més general, l'elevació d'un nombre b a l'n-èsima potència (on n és un nombre natural) s'aconsegueix multiplicant n factors de b. L'n-èsima potència de b s'escriu bn, de tal manera que:

b^n = \underbrace{b \times b \times \cdots \times b}_{n \text{ factors}}

La potenciació es pot estendre a by, on b és un nombre positiu i l'exponent y és un nombre real. Per exemple, b−1 és el recíproc de b, és a dir, 1/b (per a més detalls, entre els quals la fórmula bm + n = bm · bn, vegeu Potenciació).

Definició[modifica | modifica el codi]

El logaritme d'un nombre real positiu x respecte a una base b, un nombre real positiu que no sigui 1,[nb 1] és l'exponent al qual s'ha d'elevar b per donar com a resultat x. En altre paraules, el logaritme d'x amb base b és la solució y de l'equació:[1]

b^y = x \,

El logaritme es denota per "logb(x)" (pronunciat com "logaritme d'x en base b"). A l'equació y = logb(x), el valor y és la resposta a la pregunta "a quina potència cal elevar b per obtenir x?". Aquesta qüestió també es pot plantejar (amb una resposta més extensa) per nombres complexos, la qual cosa es tracta a la secció Logaritme complex.

Exemples[modifica | modifica el codi]

Per exemple, log2(16) = 4, ja que 24 = 2 ×2 × 2 × 2 = 16. Els logaritmes també poden ser negatius:

\log_2 \!\left( \frac{1}{2} \right) = -1\,

Ja que:

2^{-1} = \frac 1 {2^1} = \frac 1 2

Un tercer exemple: log10(150) és aproximadament 2,176, nombre que cau entre 2 i 3, d'igual manera que 150 es troba entre 102 = 100 i 103 = 1000. Finalment, per qualsevol base b, logb(b) = 1 i logb(1) = 0, ja que b1 = b i b0 = 1, respectivament.

Propietats dels logaritmes[modifica | modifica el codi]

Article principal: Identitats logarítmiques

Moltes fórmules importants, de vegades denominades identitats logarítmiques o lleis logarítmiques, relacionen els logaritmes els uns amb els altres.[2]

Producte, quocient, potència i arrel[modifica | modifica el codi]

El logaritme d'un producte és la suma dels logaritmes dels nombres que s'estan multiplicant, i el logaritme de la divisió entre dos nombres és la diferència dels logaritmes. El logaritme de la potència p-èsima d'un nombre és p vegades el logaritme del nombre, i el el logaritme de l'arrel n-èsima d'un nombre és el logaritme del nombre dividit per p. La taula següent llista aquestes identitats amb exemples. Cadascuna de les identitats es pot derivar mitjançant la substitució de les definicions logarítmiques x = b^{\log_b(x)} i/o y = b^{\log_b(y)} a la part esquerra de les equacions.

Fórmula Exemple
producte  \log_b(x y) = \log_b (x) + \log_b (y)  \log_3 (243) = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) =  2 + 3 = 5
quocient \log_b \!\left(\frac x y \right) = \log_b (x) - \log_b (y)  \log_2 (16) = \log_2 \!\left ( \frac{64}{4} \right ) = \log_2 (64) - \log_2 (4) = 6 - 2 = 4
potència \log_b(x^p) = p \log_b (x)  \log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6
arrel \log_b \sqrt[p]{x} = \frac {\log_b (x)} p  \log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5

Canvi de base[modifica | modifica el codi]

El logaritme logb(x) es pot calcular a partir dels logaritmes de x i de b respecta a una base arbitrària k utilitzant la següent fórmula:

 \log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}\,

Les calculadores científiques normalment calculen els logaritmes en base 10 i base e.[3] Els logaritmes respecte a una base qualsevol b es poden determinar fent ús de qualsevol d'aquests dos logaritme amb la fórmula anterior:

 \log_b (x) = \frac{\log_{10} (x)}{\log_{10} (b)} = \frac{\log_{e} (x)}{\log_{e} (b)} \,

Donat un nombre x i el seu logaritme logb(x) respecte a una abse desconeguda b, la base s'obté amb la següent expressió:

 b = x^\frac{1}{\log_b(x)}

Ús de logaritmes[modifica | modifica el codi]

La funció logb(x) = a està definida allà on x és un nombre real positiu i b és un nombre real positiu diferent a 1. Veure identitats logarítmiques per a les diverses regles per relacionar les entitas logaritmiques. També és possible definir logaritmes per a arguments complexos. Per a sencers b i x, el nombre logb(x) és irracional (no pot representar-se com el quocient de dos enters) si b o x té un factor primer que l'altre no té.

Càlcul dels logaritmes[modifica | modifica el codi]

La sèrie de Taylor de la funció ln(z) a z = 1. La animació presenta les 10 primers aproximacions.

Calcular el logaritme en una base b de un nombre x és executar un algorisme que faci servir operacions elementals i doni com a resultat, o bé el logaritme, o bé una aproximació tan exacta com es necessiti.

La fórmula de canvi de base permet transformar el problema de calcular el logaritme en una base qualsevol en el problema de fer una divisió de dos logaritmes en una base en la que es tingui un algorisme eficient per calcular-los.

Un mètode per calcular logaritmes (i moltes altres funcions) és aproximar la funció logaritme pel seu desenvolupament en sèrie de Taylor. Això transforma el problema en calcular el valor d'un polinomi, cosa que es fa emprant només operacions de sumar i multiplicar. Aquest mètode només és adequat pel càlcul dels logaritmes naturals perquè en el cas de logaritmes en qualsevol base, al calcular la derivada per obtenir el desenvolupament en sèrie resulta:

 \frac{d}{dx}\log_a(x) = \frac{1}{x\ln(a)}

I porta a haver de calcular un altre logaritme. En canvi en el cas del logaritme natural:

 \frac{d}{dx}\log_e(x) = \frac{1}{x\ln(e)} = \frac{1}{x}

El desenvolupament en sèrie de Taylor entorn del punt x = 1 resulta:


\begin{align}\ln x & = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} + \cdots\\
& = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{(x-1)^n}{n} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{(1-x)^n}{n}.
\end{align}

Encara que aquesta expressió es pot reescriure de forma que estalviï multiplicacions, el problema d'aquest mètode si es pretén fer un càlcul amb molts dígits de precisió és que la seva convergència és lenta. Vegeu l'article principal.

Un mètode més ràpid és aprofitar que el desenvolupament en sèrie de la funció exponencial convergèix molt ràpid i que la funció logaritme és la inversa de la funció exponencial. Llavors emprar el mètode de Newton per resoldre l'equació:

e^y - x = 0 \,

On y és la incògnita i x el nombre del qual es vol calcular el logaritme.

Pel cas del logaritme en base 2 a l'article principal es descriu un algorisme eficient per calcular-lo.

Història[modifica | modifica el codi]

Imatge barroca, assegut amb una barba.
John Napier (1550–1617), inventor dels logaritmes.[4]

El matemàtic indi Virasena va treballar amb el concepte ardhaccheda, és a dir, el nombre de vegades que un nombre de l'expressió 2n podria ser reduït a la meitat. Per a les competències exactes de 2, aquest és el logaritme d'aquesta base, que és un nombre enter, però per a altres nombres, no està definit. Ell va descriure les relacions com la fórmula del producte i també va introduir els logaritmes de sencers de base 3 (trakacheda) i de base 4 (caturthacheda).[5][6] Michael Stifel publicà Arithmetica integra a Nuremberg, el 1544, obra que conté una taula de nombres enters,[7] i de potències de 2 que ha estat considerada una primera versió d'una taula de logaritmes.[8][9]

El mètode de càlcul mitjançant logaritmes va ser proposat per primera vegada, públicament, per John Napier (llatinitzat Neperus) el 1614, en un llibre titulat Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio.[10] Jost Bürgi, un matemàtic i rellotger suís al servei del duc de Hesse-Kassel, va utilitzar per primera vegada els logaritmes, encara que va publicar el seu descobriment 6 anys després que Napier.[11] La resistència inicial a la utilització de logaritmes va canviar gràcies a l'ús que en feu Kepler, que quedà reflectit en l'entusiasta suport de la seva publicació i per la impecable i clara explicació de com funcionaven.[12]

Aquest mètode contribueix a l'avanç de la ciència, i especialment de l'astronomia, facilitant la resolució de càlculs molt complexos. Els logaritmes van ser utilitzats habitualment en geodèsia, navegació i altres branques de la matemàtica aplicada, abans de l'arribada de les calculadores i computadores. A més a més de la utilitat en el càlcul numèric, els logaritmes també ocuparen un important lloc en les matemàtiques més avançades, el logaritme natural presenta una solució per el problema de la quadratura d'un sector hiperbòlic pensat per Grégoire de Saint-Vincent en 1647.

Napier no utilitzava una base tal com per exemple s'entén però, el seu logaritme, com a factor d'escala, funcionava de manera eficaç amb base 1/e. Pels propòsits d'interpolació i facilitat de càlcul, eren útils per trobar la relació r en una sèrie geomètrica tendent a 1. Napier va escollir r = 1 - 10−7 = 0,999999 (Bürgi elegi r = 1 + 10−4 = 1,0001). Els logaritmes originals de Napier no tenien log 1 = 0, sinó log 107 = 0. Així, si N es un nombre i L es el logaritme, Napier calcula: N = 107(1 − 10−7)L. on (1 − 10−7)107 es aproximadament 1/e, fent L/107 equivalent a log1/e N/107.

Els logaritmes van ser "connectats" al càlcul infinitesimal el 1647, quan Grégoire de Saint-Vincent va computar la quadratura asimptòtica de la hipèrbola, el qual es el logaritme natural. El logaritme natural va ser primerament descrit per Nicolaus Mercator en el seu treball "Logaritmotechnia" publicat el 1668,[13] tot i que el professor de matemàtiques John Speidell ja havia compilat una taula en el logaritme natural.[14]

Denominacions[modifica | modifica el codi]

Inicialment, Napier anomenava "nombres artificials" als logaritmes i "nombres naturals" als antilogaritmes. Més tard, Napier va utilitzar la paraula logaritme en el sentit d'un nombre que indica una proporció: λόγος (logos) el sentit de proporció, i ἀριθμός (arithmos) significa nombre, i es defineix, literalment, com un nombre que indica una relació o proporció. Es refereix a la proposició que va ser feta per Napier en el seu "teorema fonamental", que estableix que la diferència de dos logaritmes determina la relació dels nombres els quals corresponen, de manera que una successió aritmètica de logaritmes corresponent a una successió geomètrica de nombres. El terme antilogarítmic va ser introduït a finals del segle XVII i, encara que mai s'utilitza àmpliament en matemàtiques, va perdurar en moltes taules, fins que no es va utilitzar més.

Escala logarítmica[modifica | modifica el codi]

Article principal: Escala logarítmica

En ciències, diverses quantitats s'expressen com a logaritmes d'altres quantitats, un concepte conegut com a escala logarítmica. Aquest procediment s'aplica en diverses situacions on una determinada quantitat varia d'1-10.000.000; per exemple, quan canviar un valor d'1 a 2 és tan important com de 100.000 a 200.000 dir. Tenint en compte no la pròpia quantitat, sinó el seu logaritme redueix rangs com als més petits. A més proporcions entre diferents valors corresponen a diferències en els seus logaritmes.

Per exemple, el decibel (símbol dB) és una unitat de la mesura que és el logaritme en base 10 de la relació s, com d'energia (física) i els nivells dels nivells de tensió. S'utilitza sobretot en telecomunicacions, electrònica i acústica. A espectrometria i l'òptica, la unitat utilitzada per mesurar la absorbència densitat òptica és equivalent a -10 dB. La escala Richter que mesura terratrèmols, on la intensitat és expressada en una escala logarítmica amb base-10.

Els gràfics semilogarítmics representen una, en general l'eix vertical utilitzant una escala logarítmica. D'aquesta manera, Funció exponencial s de la forma f(x) = a · bx aparèixer com una línia recta la pendent és proporcional a b. A la dreta, el nombre de casos de la grip [porcina] es mostren-de l'horitzontal (temps) l'eix és lineal, amb les dates semblants, tant la vertical (casos) l'eix és logarítmica, amb les divisions espaiats uniformement a ser etiquetats amb les successives potències de dos. En una forma similar, existeixen gràfics escala logarítmica en ambdós eixos.

Extensions[modifica | modifica el codi]

És possible estendre el concepte de logaritme més enllà dels reals positius.

Nombres reals[modifica | modifica el codi]

Per a enters b i x, el nombre log_b(x) és irracional (no pot representar-se com a quocient de dos enters) si b o x té un factor primer que l'altre no té.

El logaritme natual d'un nombre real positiu està ben definit i és un nombre real. No obstant això, generalitzar el logaritme natural a nombres reals negatius, només pot fer-se introduint nombres complexos.

Nombres complexos[modifica | modifica el codi]

El logaritme natural d'un nombre complex z és un altre nombre complex b= ln(z) que sigui solució de l'equació:

z = e^b\;

L'equació anterior no té solució única. Té un nombre infinit de solucions, encara que totes elles són fàcils de trobar. Donat un nombre complex z escrit en forma polar, una solució possible de l'equació (*) és b0:

b_0 = \ln \rho + i \theta \qquad \mbox{amb}\ z = \rho e^{i\theta}

Per qualsevol valor k\in\mathbb{Z} resulta que el nombre complex bk, també té solució:

b_k = \ln \rho + i\theta + 2\pi ki \qquad \Rightarrow e^{b_k} = \rho e^{i\theta}\cdot e^{2\pi ki} = z

Cada valor particular de k defineix una superfície de Riemann.

Logaritme amb base imaginària[modifica | modifica el codi]

Un logaritme en base imaginària és un logaritme que té com a base a la i. Encara que calcular aquest tipus de logaritmes sembli una tasca impossible, es pot realitzar fàcilment amb la fórmula:

log_i(z)=2*ln(z)/i*\pi

on z és qualsevol nombre complex excepte 0.

Matrius[modifica | modifica el codi]

Una matriu B és logaritme d'una matriu donada A si la potenciació de B és A:

 e^B = A. \,

A diferència de la potenciació de matrius, el logaritme d'una matriu real pot no estar definit sempre.

En el cas d'una matriu diagonalitzable és necessari que el logaritme estigui definit per a tots i cadascun dels autovalors o valors propis de la matriu. En aquest cas el logaritme de la matriu està definit i és una matriu real.

Si el logaritme no està definit sobre l'espectre o conjunt d'autovalors, encara és possible definir una matriu logaritme (de manera similar a com es defineixen els logaritmes de nombres negatius o complexes), tot i que no resulta única.

En el cas d'una matriu no diagonalitzable, aquest procés és més complicat, ja que requereix trobar primer la seva forma canònica de Jordan.

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

Una fotografia d'una petxina de Nautilus
Un nautilus mostrar una espiral logarítmica

Els logaritmes tenen moltes aplicacions dins i fora de les matemàtiques. Alguns d'aquests successos es relacionen amb el concepte d'invariància d'escala. Per exemple, cada càmera de la petxina d'un nautilus és una còpia aproximada de la següent, a escala per un factor constant. Això dóna lloc a una espiral logarítmica.[15] La llei de Benford en la distribució dels dígits inicials també s'explica per la invariància d'escala.[16] Els logaritmes també estan vinculats a l'autosimilitud. Per exemple, els logaritmes apareixen en l'anàlisi dels algorismes que resolen un problema dividint en dos petits problemes similars i les seves solucions de connexions.[17] Les dimensions de les formes geomètriques autosimilars, és a dir, de les formes i les parts que s'assemblen a la imatge general, també sobre la base dels logaritmes. Les escales logarítmiques són útils per quantificar la variació relativa d'un valor per oposició a la seva diferència absoluta. D'altra banda, perquè el registre de la funció logarítmica (x) creixi molt lentament per a grans x, les escales logarítmiques són utilitzades per comprimir les dades científiques a gran escala. Els logaritmes també apareixen en nombroses fórmules científiques, com l'equació del coet Tsiolkovsky, l'equació de Fenske, o l'equació de Nernst.

Escala logarítmica[modifica | modifica el codi]

Article principal: escala logarítmica
Un gràfic del valor d'una marca en el temps. La línia que mostra el seu valor està augmentant molt ràpidament, fins i tot amb escala logarítmica.
Un gràfic logarítmic que representa el valor d'una Goldmark en Papiermarks durant la hiperinflació alemanya en la dècada de 1920

Les quantitats científiques sovint s'expressen com logaritmes de les quantitats d'altres en una escala logarítmica. Per exemple, el decibel és una unitat logarítmica de mesura. Es basa en el logaritme comú de relacions 10 vegades el logaritme comú d'una relació de poder o 20 vegades el logaritme comú d'una relació de tensió. S'utilitza per a quantificar la pèrdua dels nivells de tensió en la transmissió de senyals elèctrics,[18] per descriure els nivells de potència dels sons en l'acústica,[19] i l'absorció de la llum en el camp de l'espectrometria i l'òptica. La relació senyal/soroll que descriu la quantitat de soroll no desitjat en relació amb un senyal (significativa) també es mesura en decibels.[20] En una línia similar, el pic de relació senyal-soroll és comunament utilitzat per avaluar la qualitat dels mètodes de compressió de so i imatge utilitzant el logaritme.[21]

La força d'un terratrèmol es mesura prenent el logaritme comú de l'energia emesa en el terratrèmol. Això s'utilitza en l'escala de magnitud de moment o l'escala de Richter. Per exemple, un terratrèmol de 5,0 allibera 10 vegades i el 6,0 allibera 100 vegades l'energia d'un 4,0.[22] Una altra escala logarítmica és la magnitud aparent. Es mesura la brillantor de les estrelles logarítmicament.[23] Un altre exemple és el pH en la química; pH és el negatiu del logaritme de l'activitat dels ions hidroni (els ions d'hidrogen forma H + prenen aigua).[24] L'activitat dels ions hidroni en aigua neutral és 10−7 mol·L−1, per tant un pH de 7. El vinagre normalment té un pH d'al voltant de 3. La diferència de 4 correspon a una proporció de 104 de l'activitat, és a dir, l'activitat de vinagre de ions hidroni és de 10−3 mol·L−1.

Gràfics semilogarítmics(log-lineals) utilitzen el concepte d'escala logarítmica per a la visualització: un dels eixos, en general la vertical, es escala logarítmica. Per exemple, el gràfic de la dreta comprimeix el fort augment de 1-1000000 per al mateix espai (en l'eix vertical), com l'augment d'1 a 1 milions de dòlars. En els gràfics per exemple, funcions exponencials de la forma f(x) = a · bx apareixen com a línies rectes amb pendent proporcional a b. Log-log Gràfics amb escala logarítmica en els dos eixos, el que fa les funcions de la forma f(x) = a · xk per ser representats com a línies rectes amb pendent proporcional a la exponent k. Això s'aplica en la visualització i l'anàlisi de les lleis d'energia.[25]

Psicologia[modifica | modifica el codi]

Els logaritmes es produeixen en diverses lleis que descriuen la percepció humana.[26][27] La llei de Hick proposa una relació logarítmica entre el temps les persones donen per triar una alternativa i el nombre d'opcions que tenen dret.[28] La llei de Fitts prediu que el temps necessari per a ràpidament traslladar-se a una àrea de destinació és una funció logarítmica de la distància i la mida de l'objectiu.[29] En psicofísica, la llei de Weber-Fechner proposa una relació logarítmica entre l'estímul i la sensació com el real enfront del pes percebut d'un punt una persona està realitzant.[30] Aquesta "llei", però, és menys precisa que els models més recents, com la llei de potència de Stevens.[31]

Els estudis psicològics van trobar que els individus matemàticament sofisticats tendeixen a estimar quantitats logarítmica, és a dir, la posició d'un nombre en una línia marcada d'acord al seu logaritme, de manera que 10 es col loca el més a prop a 20 com 100 és 200. L'augment de la comprensió matemàtica canvis aquesta a una estimació lineal (posició 100 10x tan lluny).[32][33]

La teoria de probabilitats i estadístiques[modifica | modifica el codi]

Tres corbes PDF asimètriques
Tres funcions de densitat de probabilitat (PDF) de variables aleatòries amb distribució normal d'inici de sessió. La μ paràmetre de localització, que és zero per a tots els tres dels arxius PDF es mostra, és la mitjana del logaritme de la variable aleatòria no, la mitjana de la pròpia variable.
Un gràfic de barres i un gràfic superposat segon. Els dos difereixen lleugerament, però tots dos disminueixen d'una manera similar.
Distribució dels primers dígits (en%, barres vermelles) en la població dels 237 països del món. Negre punts indiquen la distribució prevista per la llei de Benford.

Els logaritmes es plantegen en la teoria de probabilitat: la llei dels grans nombres estableix que, per una moneda, ja que augmenta el nombre de llançaments de la moneda-fins a l'infinit, la proporció observada dels caps s'acosta a la meitat. Les fluctuacions d'aquest percentatge gairebé la meitat són descrits per la llei del logaritme iterat.[34]

Els logaritmes també es produeixen en la distribució log-normal. Quan el logaritme d'una variable aleatòria té una distribució normal, la variable es diu que té una distribució logarítmica normal.[35] la distribució Log-normal es troben en molts camps, sempre que sigui una variable es forma com el producte de molts independents positiu a l'atzar variables, per exemple en l'estudi de la turbulència.[36]

Els logaritmes s'utilitzen per a l'estimació de màxima versemblança dels models estadístics paramètrics. Per a aquest model, la funció de versemblança depèn de com a mínim un paràmetre que ha de ser estimat. Un màxim de la funció de versemblança es produeix en el mateix paràmetre de valor com a màxim del logaritme de la probabilitat (la "versemblança"), ja que el logaritme és una funció creixent. El logaritme de la versemblança és més fàcil d'optimitzar, en especial per multiplicar les probabilitats per a variables aleatòries independents.[37]

Llei de Benford descriu l'aparició de dígits en molts conjunts de dades, com per exemple altures dels edificis. D'acord amb la llei de Benford, la probabilitat que els primers dígits decimals d'un element en la mostra de dades és d (d'1 a 9) és igual a log10(d + 1) − log10(d), independentment de la unitat de mesura.[38] Així, al voltant del 30% de les dades es pot esperar a tenir un inici com el primer dígit, el 18% amb 2, etc Comptes examinarà les desviacions de la llei de Benford per detectar la comptabilitat fraudulenta.[39]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Kate, S.K.; Bhapkar, H.R.. «1». A: Basics Of Mathematics (en anglès). Pune: Technical Publications, 2009. ISBN 978-81-8431-755-8. 
  2. Tots els enunciats d'aquesta secció es poden trobar a Shailesh Shirali 2002, section 4 , (Douglas Downing 2003, p. 275) o Kate & Bhapkar 2009, p. 1-1 , per exemple.
  3. Bernstein, Stephen & Bernstein, Ruth (1999), Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability, Schaum's outline series, Nova York: McGraw-Hill, p. 21, ISBN 978-0-07-005023-5
  4. Datat el 1616; presentat a la Universitat d'Edinburgh per la seva besnéta Margarida, que es va convertir en baronessa de Napier el 1686.
  5. Gupta, R. C.. Students' Britannica India: Select essays. New Delhi: Popular Prakashan, 2000, p. 329. «History of Mathematics in India» 
  6. Dr. Hiralal Jain. THE SHATKHANDAGAMA OF PUSHPADANTA AND BHOOTABAL. 3a ed.. Solapur: Jain Samskriti Samrakshaka Sangha, 1996. , part 3-4-5, book 4
  7. Stifelio, Michaele. Arithmetica Integra. London: Iohan Petreium, 1544. 
  8. Bukhshtab, A.A.; Pechaev, V.I.. Michiel Hazewinkel. Arithmetic. Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
  9. Vivian Shaw Groza and Susanne M. Shelley. Precalculus mathematics. New York: Holt, Rinehart and Winston, 1972, p. 182. ISBN 978-0-03-077670-0. 
  10. Ernest William Hobson. John Napier and the invention of logarithms, 1614. Cambridge: The University Press, 1914. 
  11. Boyer 1991, Chapter 14, section "Jobst Bürgi"
  12. Maor, Eli. E: The Story of a Number. Princeton University Press, 2009. ISBN 978-0-691-14134-3. , section 2
  13. «The number e», 2001-09. [Consulta: 02/02/2009].
  14. Cajori, Florian. A History of Mathematics. 5a ed.. Providence, RI: AMS Bookstore, 1991. ISBN 978-0-8218-2102-2. , p. 152
  15. Maor 2009, p. 135
  16. Frey, Bruce. Statistics hacks. Sebastopol, CA: O'Reilly, 2006. ISBN 978-0-596-10164-0. , chapter 6, section 64
  17. Ricciardi, Luigi M. Lectures in applied mathematics and informatics. Manchester: Manchester University Press, 1990. ISBN 978-0-7190-2671-3. , p. 21, section 1.3.2
  18. Bakshi, U. A.. Telecommunication Engineering. Pune: Technical Publications, 2009. ISBN 978-81-8431-725-1. , section 5.2
  19. Maling, George C. «Noise». A: Springer handbook of acoustics. Berlin, New York: Springer-Verlag, 2007. ISBN 978-0-387-30446-5. , section 23.0.2
  20. Tashev, Ivan Jelev. Sound Capture and Processing: Practical Approaches. New York: John Wiley & Sons, 2009. ISBN 978-0-470-31983-3. , p. 48
  21. Chui, C.K.. Wavelets: a mathematical tool for signal processing. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1997. ISBN 978-0-89871-384-8. , p. 180
  22. Crauder, Bruce; Evans, Benny; Noell, Alan. Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra. 4a ed.. Boston: Cengage Learning, 2008. ISBN 978-0-547-15669-9. , section 4.4.
  23. Bradt, Hale. Astronomy methods: a physical approach to astronomical observations. Cambridge University Press, 2004. ISBN 978-0-521-53551-9. , section 8.3, p. 231
  24. IUPAC. A. D. McNaught, A. Wilkinson. Compendium of Chemical Terminology ("Gold Book"). 2a ed.. Oxford: Blackwell Scientific Publications, 1997. DOI 10.1351/goldbook. ISBN 978-0-9678550-9-7. 
  25. Bird, J. O.. Newnes engineering mathematics pocket book. 3a ed.. Oxford: Newnes, 2001. ISBN 978-0-7506-4992-6. , section 34
  26. Goldstein, E. Bruce. Encyclopedia of Perception. Thousand Oaks, CA: Sage, 2009. ISBN 978-1-4129-4081-8. , p. 355–356
  27. Matthews, Gerald. Human performance: cognition, stress, and individual differences. Hove: Psychology Press, 2000. ISBN 978-0-415-04406-6. , p. 48
  28. Welford, A. T.. Fundamentals of skill. London: Methuen, 1968. ISBN 978-0-416-03000-6. OCLC 219156. , p. 61
  29. Paul M. Fitts. «The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement». Journal of Experimental Psychology, 47, 6, 1954, p. 381–391. DOI: 10.1037/h0055392., reprinted in Paul M. Fitts. «The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement» (PDF). Journal of Experimental Psychology: General, 121, 3, 1992, p. 262–269. DOI: 10.1037/0096-3445.121.3.262 [Consulta: 30 març 2011].
  30. Banerjee, J. C.. Encyclopaedic dictionary of psychological terms. New Delhi: M.D. Publications, 1994. ISBN 9788185880280. OCLC 33860167. , p. 304
  31. Nadel, Lynn. Encyclopedia of cognitive science. New York: John Wiley & Sons, 2005. ISBN 978-0-470-01619-0. , lemmas Psychophysics and Perception: Overview
  32. Siegler, Robert S.; Opfer, John E.. «The Development of Numerical Estimation. Evidence for Multiple Representations of Numerical Quantity». Psychological Science, 14, 3, 2003, p. 237–43. DOI: 10.1111/1467-9280.02438.
  33. Dehaene, Stanislas; Izard, Véronique; Spelke, Elizabeth; Pica, Pierre. «Log or Linear? Distinct Intuitions of the Number Scale in Western and Amazonian Indigene Cultures». Science, 320, 5880, 2008, p. 1217–1220. DOI: 10.1126/science.1156540.
  34. Breiman, Leo. Probability. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. ISBN 978-0-89871-296-4. , section 12.9
  35. Aitchison, J.; Brown, J. A. C.. The lognormal distribution. Cambridge University Press, 1969. ISBN 978-0-521-04011-2. OCLC 301100935. 
  36. Jean Mathieu and Julian Scott. An introduction to turbulent flow. Cambridge University Press, 2000, p. 50. ISBN 9780521775380. 
  37. Rose, Colin; Smith, Murray D. Mathematical statistics with Mathematica. Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002. ISBN 978-0-387-95234-5. , section 11.3
  38. Tabachnikov, Serge. Geometry and Billiards. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2005, p. 36–40. ISBN 978-0-8218-3919-5. , section 2.1
  39. Durtschi, Cindy; Hillison, William; Pacini, Carl. «The Effective Use of Benford's Law in Detecting Fraud in Accounting Data». Journal of Forensic Accounting, V, 2004, p. 17–34.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Logaritme Modifica l'enllaç a Wikidata



Error de citació: Existeixen etiquetes <ref> pel grup «nb» però no l'etiqueta <references group="nb"/> corresponent