Mètode de la falsa posició

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En anàlisi numèrica, el mètode de la falsa posició (o també regula falsi) és un algorisme iteratiu que permet trobar l'arrel aproximada d'una funció. Es pot pensar com una modificació del mètode de la secant, fent que convergeixi sempre cap a una arrel.

Introducció[modifica | modifica el codi]

Mètode recursiu[modifica | modifica el codi]

El de la falsa posició és un mètode recursiu que partint de dos valors inicials va trobant aproximacions cada vegada millors de l'arrel de la funció. És a dir, que es crea una successió de \{x_i\}_{i \geq 0} de manera que

\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha

on \,f(\alpha) = 0 és l'arrel de la funció.

Fonament de l'algorisme[modifica | modifica el codi]

Una manera de trobar una arrel d'una funció és aplicar el teorema del valor mitjà entre [x_n, \alpha]\,, d'on obtenim que:

\alpha = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(c)}, \quad c \in (x_n, \alpha)

Donat que \,c és un valor desconegut, podem aproximar-lo i en lloc de \,\alpha obtindrem una segona aproximació de l'arrel que anomenarem \,x_{n+1}, d'on podrem obtenir una tercera aproximació, i així successivament.

Definició formal[modifica | modifica el codi]

Sigui f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} una funció contínua tal que f(a) \cdot f(b)<0, el teorema de Bolzano ens assegura que existeix com a mínim una arrel de la funció en aquest interval. Tenint en compte aquestes condicions, el mètode de la falsa posició es defineix com:

Sigui \,x_{n'} el més gran dels \{x_{n-1}, \ldots, x_0 \} que compleix que f(x_n)\cdot f(x_{n'})<0 , llavors trobem el següent element de la sèrie recurrent com:

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f(x_n)-f(x_{n'})}(x_n-x_{n'}), \quad n \geq 1

on x_0 = a, \, x_1 = b.

Així doncs, el mètode de la falsa posició aproxima \,f'(c) \approx \frac{f(x_n)-f(x_{n'})}{x_n - x_{n'}}.

Exemple[modifica | modifica el codi]

Suposem que volem resoldre l'equació \,\cos(x) = x^3. Cal que definim \,f(x) = \cos(x) - x^3, i que trobem dos valors \, a, b: f(a) \cdot f(b) < 0. Aquests dos valors poden ser \, a = 0 = x_0, b = 1 = x_1, ja que f(a)>0, f(b)<0. Fem la primera iteració per trobar la segona aproximació:

x_2 = 1 - \frac{\cos(1)- 1^3}{\cos(1)-1^3 - \cos(0) + 0^3}(1-0) = 0.68507

Donat que f(x_2)>0, tenim que \,n=2, n'=1. És a dir, que la següent iteració és:

x_3 = 0.68507 - \frac{\cos(0.68507)-0.68507^3}{\cos(0.68507)-0.68507^3-\cos(1)+1^3}(0.68507 - 1) = 0.84136

Ara \, f(x_3) > 0 , per tant \, n = 3, n' = 1 . És a dir, que:

x_3 = 0.84136 - \frac{\cos(0.84136)-0.84136^3}{\cos(0.84136)-0.84136^3-\cos(0.68507)+0.68507^3}(0.84136 - 0.68507) = 0.86255

Si repetim unes quantes vegades el procés i utilitzem més xifres decimals arribem a que:

\alpha \approx x_{15} = 0.8654744033102

Vegeu també[modifica | modifica el codi]