Mínim comú múltiple

El mínim comú múltiple (m.c.m.) de dos o més nombres enters és, a menys del signe, el menor nombre enter positiu que és múltiple de tots ells.

Generalitats

Mètode 1

El mètode general per calcular el mínim comú múltiple de dos o més nombres consisteix en descompondre els nombres en factors primers i després prendre els factors comuns amb el major exponent amb que apareguin i els factors no comuns també amb el seu major exponent. Multiplicant tots aquest factors trobem el m.c.m.

Per exemple, m.c.m. de 72 i 50:

$\begin{array}{r|l} 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array}$ $72 = 2^3 \cdot 3^2 \,$

$\begin{array}{r|l} 50 & 2 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}$ $50 = 2 \cdot 5^2 \,$

$m.c.m.(72, 50) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 1800$

Mètode 2

També es pot calcular el mínim comú múltiple coneixent el màxim comú divisor dels nombres, que serà el producte d'ambdós dividit entre el seu màxim comú divisor. Per tant la fórmula es la següent:

$m.c.m.(a, b) = \frac {a \cdot b}{m.c.d.(a, b)}$

Exemple:

$m.c.m.(72, 50) = \frac {72 \cdot 50}{m.c.d.(72, 50)} = \frac {3600}{2} = 1800$

Propietats

Les propietats del m.c.m. són, en certa forma, duals de les del màxim comú divisor:

• Qualsevol múltiple comú a a i b és un múltiple de m.c.m.(a,b).
• m.c.m.(a, b) = m.c.m.(|a|, |b|).
• m.c.m.(a, b) = m.c.m.(b, a).
• m.c.m.(a, 0) = 0.
• m.c.m.(a, a) = a.
• m.c.m.(a, m.c.m.(b, c)) = m.c.m.(m.c.m.(a, b), c), cosa que permet calcular el m.c.m. de tres o més nombres.
• El mínim comú múltiple de dos nombres i el màxim comú divisor estan lligats per la relació: m.c.d.(a, b)·mcm(a, b) = |ab|.
• Si a i b són coprimers, aleshores m.c.m.(a, b) = |ab|

Usos

El m.c.m. s'empra per a sumar fraccions de distint denominador, per exemple,

$\frac {1}{6}+\frac {1}{33}=\frac {11}{66} + \frac {2}{66} = \frac {13}{66}$

El m.c.m. als anells principals

Si A és un anell principal i I i J en són ideals, l'ideal intersecció dels ideals I i J és l'ideal mínim comú múltiple dels ideals I i J. i també serveix per a restes.

Vegeu també

• Màxim comú divisor
• Nombre primer
• Factorització dels enters