Mínim comú múltiple

El mínim comú múltiple (m.c.m.) de dos o més nombres enters és, a menys del signe, el menor nombre enter que és múltiple de tots ells.

Taula de continguts

El mètode general per calcular el mínim comú múltiple de dos o més nombres consisteix en descompondre els nombres en factors primers i després prendre els factors comuns amb el major exponent amb que apareguin i els factors no comuns també amb el seu major exponent. Multiplicant tots aquest factors trobem el m.c.m.

Per exemple, de les factoritzacions de 6936 i 1200,

6936 = 2³ · 3 · 17²

1200 = 2⁴ · 3 · 5²

podem inferir que el seu m.c.m. és 2⁴ · 3 · 5² · 17² = 346 800.

Coneixent el màxim comú divisor de dos nombres, es pot calcular el mínim comú múltiple d'ells, que serà el producte d'ambdós dividit entre el seu màxim comú divisor.

$m.c.m.(a, b) = \frac {a \cdot b}{m.c.d.(a, b)}$

Les propietats del m.c.m. són, en certa forma, duals de les del màxim comú divisor:

Qualsevol múltiple comú a a i b és un múltiple de m.c.m.(a,b).
m.c.m.(a, b) = m.c.m.(|a|, |b|).
m.c.m.(a, b) = m.c.m.(b, a).
m.c.m.(a, 0) = 0.
m.c.m.(a, a) = a.
m.c.m.(a, m.c.m.(b, c)) = m.c.m.(m.c.m.(a, b), c), cosa que permet calcular el m.c.m. de tres o més nombres.
El mínim comú múltiple de dos nombres i el màxim comú divisor estan lligats per la relació: m.c.d.(a, b)·mcm(a, b) = |ab|.
Si a i b són coprimers, aleshores m.c.m.(a, b) = |ab|

El m.c.m. s'empra per a sumar fraccions de distint denominador, per exemple,

$\frac {1}{6}+\frac {1}{33}=\frac {11}{66} + \frac {2}{66} = \frac {13}{66}$

Si A és un anell principal i I i J en són ideals, l'ideal intersecció dels ideals I i J és l'ideal mínim comú múltiple dels ideals I i J..