Matriu d'adjunts

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
En la terminologia matemàtica moderna, hom denomina matriu adjunta a la matriu transposada conjugada.[1]

Donada una matriu quadrada A, la seva matriu d'adjunts o matriu de cofactors cof(A) és la que resulta de substituir cada terme aij d'A pel seu cofactor. El terme matriu adjunta adj(A) acostuma a crear confusió, ja que en molts tractats clàssics sobre àlgebra lineal correspon a la matriu de cofactors transposada,[1][2][3] encara que en altres textos es correspon amb la matriu de cofactors, donat que anomenen de la mateixa forma l'adjunt i el cofactor.[4][5] A més, també s'utilitza el símbol adj( ) indistintament a cof( ) pel càlcul en els elements d'una matriu, la qual cosa fa que la confusió sigui encara més àmplia.[6]

L'interès principal de la matriu adjunta és que permet calcular la inversa d'una matriu, donat que es compleix la relació:

\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det \mathbf{A}} \;\mbox{adj}(\mathbf{A})

on adj(A) correspon a la matriu de cofactors transposada, és a dir,

\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \operatorname{cof}(\mathbf{A})^T= \mathbf{C}^T \,.

Tot i això, per a matrius de dimensions elevades, aquest tipus de càlcul resulta més costós, en termes d'operacions, que altres mètodes, com ara el mètode de reducció de Gauss.

Definició i fórmules de càlcul[modifica | modifica el codi]

Donada una matriu A, la seva matriu d'adjunts és l'única matriu B tal que:[7]

\mathbf{A} \mathbf{B}^T=\mathbf{B}^T \mathbf{A} =(\det \mathbf{A}) \mathbf{I}

Aquesta definició no permet calcular directament la matriu d'adjunts (o cofactors), per la qual cosa hom defineix també la matriu d'adjunts mitjançant la següent fórmula explícita. Donades les components explícites de la matriu, (a_{ij}) = \mathbf{A} \in M_{n\times n}, per a cada i i j es defineix la matriu \tilde{\mathbf{A}}(i,j) com la matriu d'ordre (n-1) obtinguda a partir de \mathbf{A} quan s'elimina la fila i-sima i la columna j-sima. Es defineix la quantitat:

d_{ij} =(-1)^{i+j} \det \tilde{\mathbf{A}}(i,j)

i obtenim que aquestes són precisament les components de la matriu d'adjunts (o cofactors), és a dir, \mbox{cof}(\mathbf{A}) = (d_{ij})\,.

Matrius 2 × 2[modifica | modifica el codi]

Donada una matriu 2 × 2:


   \mathbf{A} =
   \begin{pmatrix}
      a_{11} & a_{12} \\
      a_{21} & a_{22}
   \end{pmatrix}

la seva matriu adjunta ve definida per:


   \mbox{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^T =
   \begin{pmatrix}
       a_{22} & -a_{21} \\
      -a_{12} & a_{11}
   \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix}
       a_{22} & -a_{12} \\
      -a_{21} & a_{11}
   \end{pmatrix}

on C és la matriu de cofactors.

Matrius 3 × 3[modifica | modifica el codi]

Donada una matriu 3 × 3:


   \mathbf{A} =
   \begin{pmatrix}
      a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
      a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
      a_{31} & a_{32} & a_{33}
   \end{pmatrix}

la seva matriu de cofactors ve donada per:


\begin{align}
   \mbox{cof}(\mathbf{A}) & =
   \begin{pmatrix} 
      +
      \left |
         \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\
             a_{32} & a_{33} 
         \end{matrix}
      \right | &
      -
      \left |
         \begin{matrix}
            a_{21} & a_{23} \\
            a_{31} & a_{33}
         \end{matrix}
      \right | &
      +
      \left |
         \begin{matrix}
            a_{21} & a_{22} \\
            a_{31} & a_{32}
         \end{matrix}
      \right | \\
       & & \\
      -
      \left |
         \begin{matrix}
            a_{12} & a_{13} \\
            a_{32} & a_{33}
         \end{matrix}
      \right | &
      +
      \left |
         \begin{matrix}
            a_{11} & a_{13} \\
            a_{31} & a_{33}
         \end{matrix}
      \right | &
      -
      \left |
         \begin{matrix}
            a_{11} & a_{12} \\
            a_{31} & a_{32}
         \end{matrix}
      \right| \\
      & & \\
      +
      \left |
         \begin{matrix}
            a_{12} & a_{13} \\
            a_{22} & a_{23}
         \end{matrix}
      \right | &
      -
      \left |
         \begin{matrix}
            a_{11} & a_{13} \\
            a_{21} & a_{23}
         \end{matrix}
      \right | &
      +
      \left |
         \begin{matrix}
            a_{11} & a_{12} \\
            a_{21} & a_{22}
         \end{matrix}
      \right|
   \end{pmatrix} \\
&
   =
   \begin{pmatrix} 
      a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32} & a_{23}a_{31} - a_{21}a_{33} & a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}\\
      a_{32}a_{13} - a_{33}a_{12} & a_{33}a_{11} - a_{31}a_{13} & a_{31}a_{12} - a_{32}a_{11}\\
      a_{12}a_{23} - a_{13}a_{22} & a_{13}a_{21} - a_{11}a_{23} & a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}
   \end{pmatrix}
\end{align}

i per tant, la transposada de la matriu de cofactors és la matriu adjunta:


   \mbox{adj}(\mathbf{A}) =
   \begin{pmatrix} 
      +
      \left |
         \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\
             a_{32} & a_{33} 
         \end{matrix}
      \right | &
      -
      \left |
         \begin{matrix}
            a_{21} & a_{23} \\
            a_{31} & a_{33}
         \end{matrix}
      \right | &
      +
      \left |
         \begin{matrix}
            a_{21} & a_{22} \\
            a_{31} & a_{32}
         \end{matrix}
      \right | \\
       & & \\
      -
      \left |
         \begin{matrix}
            a_{12} & a_{13} \\
            a_{32} & a_{33}
         \end{matrix}
      \right | &
      +
      \left |
         \begin{matrix}
            a_{11} & a_{13} \\
            a_{31} & a_{33}
         \end{matrix}
      \right | &
      -
      \left |
         \begin{matrix}
            a_{11} & a_{12} \\
            a_{31} & a_{32}
         \end{matrix}
      \right| \\
      & & \\
      +
      \left |
         \begin{matrix}
            a_{12} & a_{13} \\
            a_{22} & a_{23}
         \end{matrix}
      \right | &
      -
      \left |
         \begin{matrix}
            a_{11} & a_{13} \\
            a_{21} & a_{23}
         \end{matrix}
      \right | &
      +
      \left |
         \begin{matrix}
            a_{11} & a_{12} \\
            a_{21} & a_{22}
         \end{matrix}
      \right|
   \end{pmatrix}^T

Per a matrius 3 × 3 també pot emprar-se la següent fórmula:


   [\mbox{adj}(\mathbf{A})]_{ij} =
   \frac{1}{2} \; \epsilon_{mni} \; \epsilon_{pqj} \; a_{mp} \; a_{nq}

Exemple[modifica | modifica el codi]

Un exemple seria el següent:


   \operatorname{adj}
   \begin{pmatrix}
      2 & 1 & 0 \\
      1 &-1 & 1 \\
      0 & 2 &-1
   \end{pmatrix} =
   \begin{pmatrix}
      -1 & 1 & 1 \\
       1 &-2 &-2 \\
       2 &-4 &-3
   \end{pmatrix}

Matrius n × n[modifica | modifica el codi]

Per a matrius amb n gran, el cost computacional del càlcul dels adjunts pot ser elevat, de tal manera que, si l'objectiu és calcular la inversa d'una matriu, hom utilitza altres algorismes de càlcul que no impliquin trobar la matriu d'adjunts, com la descomposició LU, la descomposició QR o la factorització de Cholesky.

En el cas general, hom pot trobar la matriu d'adjunts mitjançant la següent expressió:


   [\mbox{adj}(\mathbf{A})]_{ij} =
   \frac{1}{(n-1)!} \;
   \epsilon_{i_1 \dots i_{n-1} i} \;
   \epsilon_{j_1 \dots j_{n-1} j} \;
   a_{i_1 j_1} \;
   a_{i_2 j_2} \;
   \dots \;
   a_{i_{n-1} j_{n-1}}

Propietats[modifica | modifica el codi]

Donada una matriu \mathbf{A} = (a_{ij}) \in M_{n\times n}, si definim \mathbf{B} = (b_{ij}) = \mbox{adj}(A), hom pot demostrar que les entrades b_{ij}\, poden expressar-se com a suma de monomis de grau n en les components a_{ij}\,. Això vol dir que, conforme n augmenta, el càlcul de la matriu adjunta per aplicació de fórmules directes sigui complicat, i computacionalment molt costós.

Si considerem l'operació de trobar la matriu adjunta com a una funció \mbox{adj}:M_{n\times n} \to M_{n\times n}, hom pot veure que aquesta funció és contínua (la demostració fa servir el fet que la funció determinant és contínua). A més, hom pot observar les següents propietats:

  • \mbox{adj}(\mathbf{A}^T)= \mbox{adj}(\mathbf{A})^T
  • \mbox{adj}(\mathbf{A}\mathbf{B})= \mbox{adj}(\mathbf{B})\mbox{adj}(\mathbf{A}) [8]
  • \mbox{adj}(\mathbf{I})= \mathbf{I}
  • \mathbf{A}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})\, \mathbf{A} = \det(\mathbf{A})\, \mathbf I per \mathbf{A}\in M_{n\times n}.
  • \mbox{adj}(\lambda\mathbf{A})= \lambda^{n-1}\mbox{adj}(\mathbf{A}) per \mathbf{A}\in M_{n\times n}.
  • \mbox{adj}(\mbox{adj}(\mathbf{A}))= \det(\mathbf{A})^{n-2}\mathbf{A} per \mathbf{A}\in M_{n\times n}.
  • \det(\mathbf{A}) = \mbox{tr}(\mathbf{A}\ \mbox{adj}(\mathbf{A}))/n per \mathbf{A}\in M_{n\times n}.
  • \det\big(\mathrm{adj}(\mathbf{A})\big) = \det(\mathbf{A})^{n-1}\,.

Si p(t) = det(A − tI) és el polinomi característic d'A i definim el polinimi q(t) = (p(0) − p(t))/t, llavors:

 \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = q(\mathbf{A}) = -(p_1 \mathbf{I} + p_2 \mathbf{A} + p_3 \mathbf{A}^2 + \cdots + p_{n} \mathbf{A}^{n-1})

on p_j\, són els coeficients de p(t):

 p(t) = p_0 + p_1 t + p_2 t^2 + \cdots p_{n} t^{n}.

La funció adjunta també apareix en la fórmula de la derivada del determinant:[7]

\det(\mathbf{A+H}) - \det(\mathbf{A}) =
\mbox{tr}(\mbox{adj}(\mathbf{A})\ \mathbf{H}) + o(\|\mathbf{H}\|)

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. 1,0 1,1 Apostol, Tom M. «3. Determinantes, 5. Autovalores de operadores en espacios euclídeos». A: Calculus. 2a. ed.. Barcelona [etc.]: Reverté, 2002, p. 113,151. ISBN 84-291-5003-X. 
  2. Clapham, Christopher. Diccionario de matemáticas. 1. ed. española. Madrid: Editorial Complutense, 2004, p. 3-4. ISBN 84-89784-56-6. 
  3. Solano, Sebastián Castañeda Hernández, Agustín Barrios Sarmiento, Rafael Martínez. «3.6 Cofactores y Regla de Cramer». A: Notas de álgebra lineal. 2a ed. rev. y aum.. Barranquilla, Colombia: Uninorte, 2004, p. 193. ISBN 958-8133-89-0. 
  4. Sierra, José Fernando Díaz Martín, Eider Arsuaga Uriarte, Jesús M. Riaño. «6. Determinantes». A: Introducción al álgebra. 1a. Oleiros (A Coruña): Netbiblo, 2005, p. 229-230,237-238. ISBN 84-9745-128-7. 
  5. Perelló, Miquel A. «4.3.3. Cálculo por determinantes de la matriz inversa». A: Álgebra lineal. Teoría y práctica. Barcelona: Edicions UPC, 2002, p. 129,136. ISBN 8483016621. 
  6. En aquest article s'utilitza la terminologia matriu adjunta com adj(A)=cof(A)T.
  7. 7,0 7,1 Ciarlet, Philippe G. Mathematical elasticity. Pbk. ed.. Amsterdam: North-Holland, 1988, p. 4. ISBN 978-0-444-70259-3. 
  8. Ferrer], Norman Balabanian, Theodore A. Bickart; Sundaram Seshu, con la colaboración de trabajos; versión española por Julián Fernández. «1.16 Conceptos fundamentales. Álgebra Matricial Elemental». A: Teoría de redes eléctricas. Barcelona: Reverté, 2007. ISBN 9788429130010 [Consulta: 1 setembre 2013]. 

Vegeu també[modifica | modifica el codi]