Matriu de Gram

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En àlgebra lineal, la matriu de Gram d'un conjunt de vectors v_1,\dots, v_n en un espai prehilbertià, és la matriu que defineix el producte escalar, les entrades del qual vénen donades per G_{ij}=(v_i|v_j). El seu nom és degut al matemàtic danés Jørgen Pedersen Gram.

Propietats[modifica | modifica el codi]

Una matriu de Gram, G, és una matriu quadrada que compleix les següents propietats:

g_{ij}=g_{ji}
  • És una matriu semidefinida positiva, i totes les matrius semidefinides positives són la matriu de Gram d'algun conjunt de vectors. Aquest conjunt generalment no és únic: la matriu de Gram de qualsevol base ortonormal és una matriu identitat. L'analogia en dimensió infinita d'això seria el Teorema de Mercer.
  • El primer element és positiu.
g_{11}>0
  • Els seus determinants principals són positius.
  1. \begin{vmatrix}
g_{11} & g_{12} \\
g_{21} & g_{22} \\
\end{vmatrix} > 0
  2. \begin{vmatrix}
G
\end{vmatrix} > 0

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

Una de les aplicacions més importants d'aquesta matriu és la comprovació de la independència lineal: un conjunt de vectores serà linealment independent si i només sí el determinant de Gram no és nul.

Determinant de Gram[modifica | modifica el codi]

El Determinant de Gram és el determinant de la matriu de Gram:

G(x_1,\dots, x_n)=\begin{vmatrix} (x_1|x_1) & (x_1|x_2) &\dots & (x_1|x_n)\\
 (x_2|x_1) & (x_2|x_2) &\dots & (x_2|x_n)\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
 (x_n|x_1) & (x_n|x_2) &\dots & (x_n|x_n)\end{vmatrix}.

Geomètricament, el determinant de Gram és el quadrat del volum d'un paral·lelepípede format pels vectors. En particular, els vectors són linealment independents si i només si el determinant de la matriu de Gram no és zero (si i només si la matriu de Gram no és singular).

Exemples[modifica | modifica el codi]

Normalment, els vectors són elements d'un espai euclidià, o funcions d'un espai L2, tals com funcions contínues en un interval tancat [a,b].

Donada una funció de variable real \{l_i(\cdot),\,i=1,\dots,n\} definida en un interval [t_0,t_f], la matriu de Gram G=[G_{ij}], es defineix com el producte escalar estàndard de funcions: G_{ij}=\int_{t_0}^{t_f} l_i(\tau)l_j(\tau)\, d\tau .

Donada una matriu A, la matriu A^{\mathrm{T}}A és la matriu de Gram de las columnes de A, mentre que la matriu AA^{\mathrm{T}} és la matriu de Gram de les files de A.

Per a una forma bilineal B definida en un subespai vectorial de dimensió finita, es defineix la matriu de Gram G associada a un conjunt de vectors v_1,\dots, v_n, com G_{i,j} = B(v_i,v_j) \, . Aquesta matriu sería la simètrica si la forma bilineal B ho fos.

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]