Matriu de Gram

En àlgebra lineal, la matriu de Gram d'un conjunt de vectors $v_1,\dots, v_n$ en un espai prehilbertià, és la matriu que defineix el producte escalar, les entrades del qual venen donades per $G_{ij}=(v_i|v_j)$. El seu nom és degut al matemàtic danés Jørgen Pedersen Gram.

Propietats

Una matriu de Gram, G, és una matriu quadrada que compleix les següents propietats:

• És simètrica.

$g_{ij}=g_{ji}$

• És una matriu semidefinida positiva, i totes les matrius semidefinides positives són la matriu de Gram d'algun conjunt de vectors. Aquest conjunt generalment no és únic: la matriu de Gram de qualsevol base ortonormal és una matriu identitat. L'analogia en dimensió infinita d'això seria el Teorema de Mercer.
• El primer element és positiu.

$g_{11}>0$

• Els seus determinants principals són positius.

1. $\begin{vmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \\ \end{vmatrix} > 0$
2. $\begin{vmatrix} G \end{vmatrix} > 0$

Aplicacions

Una de les aplicacions més importants d'aquesta matriu és la comprovació de la independència lineal: un conjunt de vectores serà linealment independent si i només sí el determinant de Gram no és nul.

Determinant de Gram

El Determinant de Gram és el determinant de la matriu de Gram:

$G(x_1,\dots, x_n)=\begin{vmatrix} (x_1|x_1) & (x_1|x_2) &\dots & (x_1|x_n)\\ (x_2|x_1) & (x_2|x_2) &\dots & (x_2|x_n)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ (x_n|x_1) & (x_n|x_2) &\dots & (x_n|x_n)\end{vmatrix}.$

Geomètricament, el determinant de Gram és el quadrat del volum d'un paral·lelepípede format pels vectors. En particular, els vectors són linealment independents si i només si el determinant de la matriu de Gram no és zero (si i només si la matriu de Gram no és singular).

Exemples

Normalment, els vectors són elements d'un espai euclidià, o funcions d'un espai L2, tals com funcions contínues en un interval tancat $[a,b]$.

Donada una funció de variable real $\{l_i(\cdot),\,i=1,\dots,n\}$ definida en un interval $[t_0,t_f]$, la matriu de Gram $G=[G_{ij}]$, es defineix com el producte escalar estàndard de funcions: $G_{ij}=\int_{t_0}^{t_f} l_i(\tau)l_j(\tau)\, d\tau$.

Donada una matriu A, la matriu $A^{\mathrm{T}}A$ és la matriu de Gram de las columnes de A, mentre que la matriu $AA^{\mathrm{T}}$ és la matriu de Gram de les files de A.

Per a una forma bilineal B definida en un subespai vectorial de dimensió finita, es defineix la matriu de Gram G associada a un conjunt de vectors $v_1,\dots, v_n$, com $G_{i,j} = B(v_i,v_j) \,$. Aquesta matriu sería la simètrica si la forma bilineal B ho fos.

Enllaços externs

• Barth, Nils. «The Gramian and K-Volume in N-Space: Some Classical Results in Linear Algebra». Journal of Young Investigators, vol. 2, 1999.