Matriu de decalatge

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, una matriu de decalatge és una matriu booleana amb entrades iguals a 1 només a la superdiagonal o a la subdiagonal, i zeros altrament. Una matriu de decalatge U amb valors 1 a la superdiagonal s'anomena matriu de decalatge superior (la notació U prové de l'anglès upper, superior). Anàlogament, una matriu de decalatge L amb valors 1 a la subdiagonal s'anomena matriu de decalatge inferior (la notació L prové de l'anglès lower, inferior). L'entrada (i,j)-sima de U i L es defineix per

 U_{ij} = \delta_{i+1,j}, \quad L_{ij} = \delta_{i,j+1},

on \delta_{ij} és el símbol delta de Kronecker.

Per exemple, les matrius de decalatge 5×5 són


U_5=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \quad
L_5=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}.

Òbviament, la transposada d'una matriu de decalatge inferior és una matriu de decalatge superior i viceversa.

Si multipliquem per l'esquerra una matriu A per una matriu de decalatge inferior (resp. superior), obtenim una altra matriu on els elements de A s'han desplaçat una posició cap avall (resp. cap amunt), i amb zeros a la primera (resp. última) fila. Anàlogament, si multipliquem per la dreta per una matriu de decalatge inferior (resp. superior), veurem que els elements es desplacen una posició cap a l'esquerra (resp. dreta).

Hom pot veure fàcilment que qualsevol matriu de decalatge és nilpotent; una matriu de decalatge S de mida n per n esdevé la matriu zero quan s'eleva a l'n-sima potència.

Propietats[modifica | modifica el codi]

Siguin L i U les matrius de decalatge inferior i superior de mida n per n, respectivament. Llavors hom pot observar-ne les següents propietats:

p_U(\lambda) = (-1)^n\lambda^n.

(anàlogament per L)

Les següents propietats mostren la relació entre U i L:

  • LT = U; UT = L
  • Els nuclis de U i L són
 \operatorname{nuc}(U) = \langle (1,0,\ldots, 0)^T \rangle,
 \operatorname{nuc}(L) = \langle (0,\ldots, 0, 1)^T \rangle .
UL = I - \operatorname{diag}(0,\ldots, 0,1),
LU = I - \operatorname{diag}(1,0,\ldots, 0).
Aquestes dues matrius són idempotents, simètriques, i tenen el mateix rang que U i L.
  • Ln-aUn-a + LaUa = Un-aLn-a + UaLa = I (la matriu identitat), per qualsevol enter a entre 0 and n (ambdós inclosos).

Exemples[modifica | modifica el codi]


S=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}; \quad A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}.

Llavors 
SA=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 2 & 1
\end{pmatrix}; \quad AS=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\
2 & 3 & 2 & 1 & 0 \\
2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}.

Existeixen moltes permutacions possibles. Per exemple, S^{T}AS és igual a la matriu A desplaçada cap amunt i cap a l'esquerra al llarg de la diagonal principal.


S^{T}AS=\begin{pmatrix}
2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\
2 & 3 & 2 & 1 & 0 \\
2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

Vegeu també[modifica | modifica el codi]