Matriu de rotació

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En àlgebra lineal, una matriu de rotació és la matriu que representa una rotació a l'espai euclidià. Per exemple, la matriu



\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\[3pt]
\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}


representa la rotació de θ graus del pla en sentit antihorari. Encara que en la majoria de les aplicacions es consideren rotacions en dues o tres dimensions, les matrius de rotació poden definir-se en espais de qualsevol dimensió. Algebraicament, una matriu de rotació és una matriu ortogonal de determinant igual a 1:

R^{T} = R^{-1} \quad\text{i}\quad \det R = 1.

Les matrius de rotació són quadrades i amb valors reals. No obstant això, es poden definir sobre altres cossos. El conjunt de totes les matrius de rotació de dimensió n × n forma un grup que es coneix com a grup de rotacions (o grup ortogonal especial).

En tres dimensions, les matrius de rotació representen les rotacions de manera concisa i s'usen freqüentment en geometria, física, informàtica i navegació.


En 2 dimensions[modifica | modifica el codi]

Un gir cap a l'esquerra d'un vector a través de l'angle θ. El vector està inicialment alineat amb l'eix x.

En dues dimensions tota matriu de rotació té la següent forma:


R(\theta) = \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}.

Per rotar un vector columna es fa mitjançant la següent multiplicació de matrius:


\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}.

Per tant, despres de la rotació les coordenades (x',y') del punt (x,y) són :

x' = x \cos \theta - y \sin \theta\,,
y' = x \sin \theta + y \cos \theta\,.

El sentit de gir és antihorari vector, si θ és positiu (per exemple, 90 °), i en sentit horari si θ és negatiu (per exemple, -90 °).


R(-\theta) = \begin{bmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}\,.

Nota: el cas de dues dimensions és l'única no trivial (per exemple, una dimensió) cas en que el grup de rotació matrius és commutativa, de manera que no importa l'ordre en què es realitzen múltiples rotacions.

En 3 dimensions[modifica | modifica el codi]

Les següents matrius exemplifiquen les tres rotacions bàsiques sobre els eixos x,y, i z (rotacions bàsiques d'un gimbal )


\begin{alignat}{1}
R_x(\theta) &= \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \theta & -\sin \theta \\[3pt]
0 & \sin \theta  & \cos \theta \\[3pt]
\end{bmatrix} \\[6pt]
R_y(\theta) &= \begin{bmatrix}
\cos \theta & 0 & \sin \theta \\[3pt]
0 & 1 & 0 \\[3pt]
-\sin \theta & 0 & \cos \theta \\
\end{bmatrix} \\[6pt]
R_z(\theta) &= \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\[3pt]
\sin \theta & \cos \theta & 0\\[3pt]
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}.
\end{alignat}


Cadascuna d'aquestes rotacions bàsiques es produèixen cap a l'esquerra quan l'eix al voltant del qual es produeixen apunta cap a l'observador i el sistema de coordenades és de mà dreta. R z , per exemple, giraria cap a l'eix y un vector alineat amb l'eix x.

Referències[modifica | modifica el codi]

Enllaç extern[modifica | modifica el codi]