Matriu definida positiva

Dins l'entorn de l'àlgebra lineal, una matriu definida positiva és una matriu hermítica que és anàloga als nombres reals positius.

Definicions equivalents

Sigui M una matriu hermítica quadrada n × n. D'ara endavant denotarem la transposada d'una matriu o vector $a$ com $a^{T}$, i el conjugat transposat, $a^{*}$. Aquesta matriu M es diu definida positiva si compleix amb una (i per tant, les altres) de les següents formulacions equivalents:

1.	Per a tots els vectors no nuls $z \in \mathbb{C}^n$ hem de $\textbf{z}^{*}M \textbf{z}> 0$. Noteu que $z^{*}M z$ és sempre real.
2.	Tots els valors propis $\lambda_i$ de $M$ són positius. (Recordem que els valors propis d'una matriu hermítica o si no, real simètrica, són reals.)
3.	La forma sesquilineal hermítica definida per la relació $\langle \textbf{x}, \textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*}M \textbf{y}$ és un producte escalar a $\mathbb{C}^n$.
4.	Tots els menors principals de $M$ són positius. O el que és equivalent; totes les matrius tenen determinants positius. La superior esquerra de M de dimensió 1x1 La superior esquerra de M de dimensió 2x2 La superior esquerra de M de dimensió 3x3 ... La superior esquerra de M de dimensió (n-1) x (n-1) $M$ en si mateixa

Anàlogament, si M és una matriu real simètrica, es reemplaça $\mathbb{C}^n$ per $\mathbb{R}^n$ , i la conjugada transposada per la transposada.

Propietats

• Tota matriu definida positiva és invertible (el seu determinant és positiu), i la seva inversa és definida positiva.

• Si $M$ és una matriu definida positiva i $r> 0$ és un nombre real, llavors $rm$ és definida positiva.

• Si $M$ i $N$ són matrius definides positives, aleshores la suma $M+N$ també ho és. A més si

$MN = NM$, llavors $MN$ és també definida positiva.

• Per a tota matriu definida positiva $M$, existeix una única matriu definida positiva $N$ tal que $N^2 = M$; es denota $N = M^{1/2}$ i es diu arrel quadrada de $M$.

Matrius definides negatives, semidefinides positives i indefinides

La matriu hermítica (respectivament real simètrica) $M$ es diu:

- Definida negativa si $x^{*}M x <0 \,$ per a tots els vectors $x \in \mathbb{C}^n$ (respectivament $x\in\mathbb{R}^n$) no nuls

- Semidefinida positiva si $x^{*}M x \geq 0$ per a tot $x \in \mathbb{C}^n$ (respectivament $x\in \mathbb{R}^n$)

- Semidefinida negativa si $x^{*}M x \leq 0$ per a tot $x \in \mathbb{C}^n$ (respectivament $x\in \mathbb{R}^n$), en altres paraules si $-M$ és semidefinida positiva

Una matriu hermítica es diu indefinida si no entra en cap de les classificacions anteriors.

Cas no hermític

Una matriu real M pot tenir la propietat x ^T Mx > 0 per a tot vector real no nul sense ser simètrica. La matriu

$\begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{bmatrix}$

és un exemple. En general, tindrem x ^T Mx > 0 per a tot vector real no nul x si i només si la matriu simètrica ( M + M ^T )/2, és definida positiva.