Matriu definida positiva

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Dins l'entorn de l'àlgebra lineal, una matriu definida positiva és una matriu hermítica que és anàloga als nombres reals positius.

Definicions equivalents[modifica | modifica el codi]

Sigui M una matriu hermítica quadrada n × n. D'ara endavant denotarem la transposada d'una matriu o vector  a com  a^{T}, i el conjugat transposat,  a^{*}. Aquesta matriu M es diu definida positiva si compleix amb una (i per tant, les altres) de les següents formulacions equivalents:

1. Per a tots els vectors no nuls  z \in \mathbb{C}^n hem de
 \textbf{z}^{*}M \textbf{z}> 0 .

Noteu que  z^{*}M z és sempre real.

2. Tots els valors propis  \lambda_i de  M són positius. (Recordem que els valors propis d'una matriu hermítica o si no, real simètrica, són reals.)
3. La forma sesquilineal hermítica definida per la relació
 \langle \textbf{x}, \textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*}M \textbf{y}

és un producte escalar a  \mathbb{C}^n .

4. Tots els menors principals de  M són positius. O el que és equivalent; totes les matrius tenen determinants positius.
  • La superior esquerra de M de dimensió 1x1
  • La superior esquerra de M de dimensió 2x2
  • La superior esquerra de M de dimensió 3x3
  • ...
  • La superior esquerra de M de dimensió (n-1) x (n-1)
  •  M en si mateixa

Anàlogament, si M és una matriu real simètrica, es reemplaça  \mathbb{C}^n per  \mathbb{R}^n , i la conjugada transposada per la transposada.

Propietats[modifica | modifica el codi]

  • Tota matriu definida positiva és invertible (el seu determinant és positiu), i la seva inversa és definida positiva.
  • Si  M és una matriu definida positiva i  r> 0 és un nombre real, llavors  rm és definida positiva.
  • Si  M i  N són matrius definides positives, aleshores la suma  M+N també ho és. A més si

 MN = NM , llavors  MN és també definida positiva.

  • Per a tota matriu definida positiva  M , existeix una única matriu definida positiva  N tal que  N^2 = M ; es denota  N = M^{1/2} i es diu arrel quadrada de  M .

Matrius definides negatives, semidefinides positives i indefinides[modifica | modifica el codi]

La matriu hermítica (respectivament real simètrica)  M es diu:

- Definida negativa si  x^{*}M x <0 \, per a tots els vectors  x \in \mathbb{C}^n (respectivament  x\in\mathbb{R}^n ) no nuls

- Semidefinida positiva si  x^{*}M x \geq 0 per a tot  x \in \mathbb{C}^n (respectivament  x\in \mathbb{R}^n )

- Semidefinida negativa si  x^{*}M x \leq 0 per a tot  x \in \mathbb{C}^n (respectivament  x\in \mathbb{R}^n ), en altres paraules si  -M és semidefinida positiva

Una matriu hermítica es diu indefinida si no entra en cap de les classificacions anteriors.

Cas no hermític[modifica | modifica el codi]

Una matriu real M pot tenir la propietat x T Mx > 0 per a tot vector real no nul sense ser simètrica. La matriu

 \begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{bmatrix}

és un exemple. En general, tindrem x T Mx > 0 per a tot vector real no nul x si i només si la matriu simètrica ( M + M T )/2, és definida positiva.