Matriu densitat

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La matriu densitat, o operador densitat és una entitat matemàtica introduïda per John von Neumann. Permet resumir en una sola matriu tot el conjunt possible dels estats quàntics d'un sistema físic donat a un instant donat, juntant així la mecànica quàntica i la física estadística.

Definició[modifica | modifica el codi]

Cas pur[modifica | modifica el codi]

La descripció del sistema es fa aquí gràcies a un vector d'estat | \psi(t) \rangle que es pot desenvolupar sobre la base dels \{ | u_n \rangle \}  :

\left| \psi(t) \right\rangle = \sum_n  {c_n(t) \cdot \left| u_n \right\rangle}

amb \sum_n | c_n(t) |^2 = 1\,

L'operador densitat es defineix per un estat pur per :

\hat \rho = |\psi(t) \rangle \langle \psi(t) | = \sum_{n,p} c_n^*(t) c_p(t) | u_p \rangle \langle u_n |

Evolució amb el temps[modifica | modifica el codi]

L'evolució temporal del vector d'estat es dóna per l'equació de Schrödinger depenent del temps :

 \hat H \left| \Psi (t)\right\rangle = i \hbar {d\over dt} \left| \Psi (t) \right\rangle

En termes de la matriu densitat, l'equació de Liouville-Von Neumann:

 [\hat{H}, \hat{\rho}]  = i \hbar {d\over dt} \hat{\rho}

Relació amb l'entropia[modifica | modifica el codi]

Es pot definir l'entropia de John Von Neumann :

S=-k_B Tr(\hat \rho\ln(\hat \rho))

on k_B és la constant de Boltzmann.

L'entropia d'un estat pur és nul·la, car no hi ha cap incertesa sobre l'estat dle sistema. Es pot trobar també una base on la matriu és diagonal, amb els 0, i un 1 sobre la diagonal, cosa que dóna una entropia igual a 0.