Matriu hermítica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Una matriu hermítica és una matriu complexa que és igual a la seva conjugada-transposada. S'anomena així en honor a Charles Hermite.

Així, una matriu (quadrada) d'elements complexos és hermítica si i només si un element a la filera i i columna j és igual al conjugat complex de l'element de la filera j i columna i, és a dir : per tots els índexs i, j:

a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}

(cal recordar que el conjugat complex \overline{z} d'un nombre complex \ z és aquell nombre amb la mateixa part real i la part imaginària oposada).

Un exemple de matriu hermítica és el següent:

\begin{bmatrix}3&2+i\\
2-i&1\end{bmatrix}

En particular, una matriu real és hermitíca si i només si és simètrica.

Qualsevol matriu hermítica n x n és normal, i per consegüent és diagonalitzable. La matriu diagonal obtinguda només té elements reals: en altres paraules, els valors propis d'una matriu hermítica sempre són reals. A més, els subespais propis de la matriu són ortogonals de dos en dos: existeix una base ortonormal de \mathbb{C}^n constituïda amb vectors propis de la matriu.