Matriu permutació

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La matriu permutació és la matriu quadrada amb tots els seus n × n elements iguals a 0, excepte un qualsevol per cada fila i columna, el qual ha de ser igual a 1. D'acord amb aquesta definició hi ha n! matrius de permutació diferents, de les quals una meitat correspon a matrius de permutació parell (amb el determinant igual a 1) i l'altra meitat a matrius de permutació senar (amb el determinant igual a -1). Per a n = 3 s'obté:

Matrius de permutació parell:


\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 0 & 0 & 1 \\
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 1 \\
 1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}

Matrius de permutació senar:


\begin{pmatrix}
 0 & 0 & 1 \\
 0 & 1 & 0 \\
 1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 0 & 1 & 0 \\
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 1 \\
 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}

Pot notar-se que les matrius de permutació conformen un grup d'ordre núm ! respecte al producte.

Propietats[modifica | modifica el codi]

  • L 'element neutre del grup és la matriu identitat.
  • El element invers de cada element del grup de matrius de permutació és la matriu transposada corresponent.
  • Cada element del grup de matrius de permutació és una matriu ortogonal.
  • El producte de matrius de permutació parell sempre genera una matriu de permutació parell.
  • El producte de matrius de permutació imparell sempre genera una matriu de permutació parell.
  • El producte de matrius de permutació de paritat diferent sempre genera una matriu de permutació senar.
  • Observeu que les matrius de permutació parell conformen un semigrup i que a més el grup de matrius de permutació no és commutatiu.
  • Cada element del grup de matrius de permutació fora del semigrup és una matriu simètrica.