Matriu transposada conjugada

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, la matriu transposada conjugada d'una matriu A de dimensió m per n a entrades complexes és una matriu A* de dimensió n per m obtinguda a partir d'A prenent la seva transposada i després prenent el conjugat complex de cada entrada (és a dir, canviant de signe les parts imaginàries però no les parts reals). Formalment, la matriu transposada conjugada es defineix com:

(\mathbf{A}^*)_{ij} = \overline{\mathbf{A}_{ji}}

on els subíndexs denoten l'entrada i,j-sima, per 1 ≤ in i 1 ≤ jm, i la barra denota una conjugació complexa. (El conjugat complex de a + bi, on a i b són reals, és a - bi.)

També podem escriure aquesta definició com:

\mathbf{A}^* = (\overline{\mathbf{A}})^\mathrm{T} = \overline{\mathbf{A}^\mathrm{T}}

on \mathbf{A}^\mathrm{T} \,\! denota la transposada i \overline{\mathbf{A}} \,\! denota la matriu amb entrades conjugades.

La matriu transposada conjugada d'una matriu A es pot denotar per qualsevol d'aquests símbols:

En alguns contexts, \mathbf{A}^* \,\! denota la matriu amb entrades conjugades, i llavors la transposada conjugada s'escriu \mathbf{A}^{*\mathrm{T}} \,\! o \mathbf{A}^{\mathrm{T}*} \,\!.

Exemple[modifica | modifica el codi]

Si

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 3 + i & 5 & -2i \\ 2-2i & i & -7-13i \end{bmatrix}

llavors

\mathbf{A}^* = \begin{bmatrix} 3-i & 2+2i \\ 5 & -i \\ 2i & -7+13i\end{bmatrix}

Observacions[modifica | modifica el codi]

Una matriu quadrada A amb entrades a_{ij} s'anomena:

Encara que A no sigui quadrada, les dues matrius A*A i AA* són totes dues hermítiques, i de fet són semidefinides positives.

Per trobar la transposada conjugada d'una matriu A a entrades reals, n'hi ha propu amb trobar-ne la transposada, ja que el conjugat complex d'un nombre real és el propi nombre real.

Motivació[modifica | modifica el codi]

Una possible motivació per la definició del concepte de transposada conjugada rau en el fet que els nombres complexos es poden representar mitjançant matrius reals 2×2, amb les operacions habituals d'addició i producte matricials:

a + ib \mapsto \left(\begin{matrix} a & -b \\ b & a \end{matrix}\right).

És a dir, estem representant cada nombre complex z per la matriu real 2×2 de la transformació lineal associada al diagrama d'Argand (vist com l'espai vectorial real2).

Una matriu m per n de nombres complexos pot representar-se, de forma anàloga, per una matriu 2m per 2n a entrades reals. La transposada conjugada sorgeix de forma natural com a simple transposició d'aquesta matriu, que pot visualitzar-se de nou com una matriu n per m a entrades complexes.

Propietats[modifica | modifica el codi]

  • (A + B)* = A* + B* per dues matrius qualssevol A i B de les mateixes dimensions.
  • (r A)* = r*A* per qualsevol complex r i qualsevol matriu A. Aquí, r* denota el conjugat complex de r.
  • (AB)* = B*A* per qualsevol matriu A m per n i qualsevol matriu B n per p. Notem que s'inverteix l'ordre dels factors.
  • (A*)* = A per qualsevol matriu A.
  • Si A és una matriu quadrada, llavors det(A*) = (det A)* i tr(A*) = (tr A)*
  • A és invertible si i només si A* és invertible, i en cas afirmatiu, (A*)−1 = (A−1)*.
  • Els valors propis de A* són els conjugats complexos dels valors propis de A.
  • < \mathbf{Ax}, \mathbf{y}> = < \mathbf{x},\mathbf{A}^* \mathbf{y} > per qualsevol matriu A m per n, qualsevol vector x de ℂn i qualsevol vector y de ℂm. Aquí, <\cdot,\cdot> denota el producte escalar habitual a ℂm i ℂn.

Generalitzacions[modifica | modifica el codi]

La darrera propuietat que hem vist ens mostra que si visualitzem A com una transformació lineal entre els espais de Hilbertn i ℂm, llavors la matriu A* correspon a l'operador adjunt de A. Així doncs, el concepte d'operador adjunt entre espais de Hilbert es pot veure com una generalització del concepte de matriu transposada conjugada.

Una altra generalització: suposem que A és una aplicació lineal d'un espai vectorial complex V a un altre, W. Llavors té sentit definir l'aplicació lineal conjugada i l'aplicació lineal transposada, i podem prendre la transposada conjugada de A com la conjugada complexa de la transposada de A. Així tenim una correspondència entre l'espai dual de W i el conjugat dual de V.

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]