Matriu unitària

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, una matriu quadrada complexa U és unitària si

U^* U = UU^* = I \,

on I és la matriu identitat i U * és la transposada conjugada de U.

L'anàloga real d'una matriu unitària és una matriu ortogonal.

Propietats[modifica | modifica el codi]

Per qualsevol matriu unitària U, el següent és cert:

  • Donats dos vectors complexos x i y, la multiplicació per U preserva el seu producte escalar; és a dir,
\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle.
U = VDV^*\;
on V és unitària i D és diagonal i unitària.
  • |\det(U)|=1.
  • Els seus espais propis són ortogonals.
  • Per qualsevol enter n, el conjunt de totes les matrius unitàries n per n juntament amb el producte matricial forma un grup, anomenat grup unitari U(n).
  • Qualsevol matriu quadrada amb la norma euclidiana unitària és la mitjana de dues matrius unitàries[1]

Condicions equivalents[modifica | modifica el codi]

Si U és una matriu complexa quadrada, llavors les següents condicions són equivalents:

  1. U és unitària
  2. U * és unitària
  3. U és invertible, amb U –1=U *
  4. les columnes de U formen una base ortonormal de \mathbb{C}^n respecte el producte escalar usual
  5. les files de U formen una base ortonormal de \mathbb{C}^n respecte el producte escalar usual
  6. U és una isometria respecte la norma usual
  7. U és una matriu normal amb valors propis dins la circumferència unitat

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Li, Chi-Kwong. «Additive Decomposition of Real Matrices». Linear and Multilinear Algebra, 50, 4, 1 gener 2002, pàg. 321–326. DOI: 10.1080/03081080290025507.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]