Matrius de Pauli

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Les matrius de Pauli, deuen el seu nom a Wolfgang Ernst Pauli, són matrius usades en física quàntica en el context del moment angular intrínsec o espín. Matemàticament, les matrius de Pauli constitueixen una base vectorial del àlgebra de Lie del grup especial unitari SU (2), actuant sobre la representació de dimensió 2.

Forma de les matrius[modifica | modifica el codi]

Compleixen les regles de commutació de l'àlgebra de Lie  \mathfrak{su}(2) :

 \left [\sigma_i, \sigma_j \right] = 2i \ \epsilon_{ijk}\ \sigma_k

On:

 \Epsilon_{ijk}\; és el Símbol de Levi-Civita (pseudotensor totalment antisimètric).

També satisfan la següent regla de anticommutació


\left \{\sigma_i,\sigma_j \right \}=\sigma_i\sigma_j+\sigma_j\sigma_i=2\delta_{ij}I\

Altres propietats importants són:

\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I
\operatorname{det} (\sigma_i) = -1
\operatorname{Tr} (\sigma_i) = 0

Cas d'espín 1/2[modifica | modifica el codi]

Les matrius de Pauli són tres, igual que la dimensió de l'àlgebra del Lie del grup EL SEU (2). En el seu representació lineal més comú tenen la següent forma:


 \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad
\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Cas d'espín 1[modifica | modifica el codi]

Per abús de llenguatge se sol cridar matrius de Pauli a altres representacions lineals diferents a les usades en el cas d'espín 1/2 anterior. Per exemple per representar l'espín d'una partícula amb valor 1, s'usa la representació lineal mitjançant matrius de 3x3 següent:



J_x = \frac\hbar\sqrt{2}
\begin{pmatrix}
0&1&0\\
1&0&1\\
0&1&0
\end{pmatrix}
\qquad
J_y = \frac\hbar\sqrt{2}
\begin{pmatrix}
0&-i&0\\
i&0&-i\\
0&i&0
\end{pmatrix}
\qquad
J_z = \hbar
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&0&0\\
0&0&-1
\end{pmatrix}

Cas d'espín 3/2[modifica | modifica el codi]

Anàlogament al cas anterior per espín 3/2 és comú usar la següent representació:



J_x = \frac\hbar2
\begin{pmatrix}
0&\sqrt{3}&0&0\\
\sqrt{3}&0&2&0\\
0&2&0&\sqrt{3}\\
0&0&\sqrt{3}&0
\end{pmatrix}
\qquad
J_y = \frac\hbar2
\begin{pmatrix}
0&-i\sqrt{3}&0&0\\
i\sqrt{3}&0&-2i&0\\
0&2i&0&-i\sqrt{3}\\
0&0&i\sqrt{3}&0
\end{pmatrix}
\qquad
J_z = \frac\hbar2
\begin{pmatrix}
3&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&-3
\end{pmatrix}

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

Les matrius de Pauli tenen gran utilitat en mecànica quàntica. L'aplicació més coneguda és la representació del operador d'espín per a una partícula d'espín 1/2, com un electró, un neutró o un protó. Així l'observable que serveix per mesurar l'espín, o moment angular intrínsec, d'un electró, a l'adreça i , ve donat pel operador autoadjunt:


 \hat{S}_i = \frac{\hbar}{2}\sigma_i

En la representació convencional, els autoestables d'espín corresponen als vectors:


 \left \{|\uparrow \rangle = (1,0);|\downarrow \rangle = (0,1) \right \}

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Nota[modifica | modifica el codi]