Maximal i minimal (elements)

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, especialment en teoria de l'ordre, un element maximal d'un conjunt parcialment ordenat P és un element de P que no és menor que cap altre. El terme element minimal es defineix de manera dual.

Definició[modifica | modifica el codi]

Sigui ( P , ≤) un conjunt parcialment ordenat; mP és un element maximal de P si l'únic xP tal que mx és x = m .

La definició d'element minimal s'obté reemplaçant ≤ per ≥.

Propietats[modifica | modifica el codi]

A primera vista semblaria que m hauria de ser un element màxim, el que no és sempre cert: la definició d'element maximal és una mica més feble. De fet, poden existir elements maximals sense que hi hagi un màxim. La raó és que, en general, ≤ és només un ordre parcial en P ; si m és un maximal i pP , hi ha la possibilitat que ni pm ni mp , de manera que m no seria màxim. Això permet, a més, que hi hagi més d'un element maximal en un conjunt.

No obstant això, si mP és maximal i P té un màxim, es complirà que màx ( P ) ≤ m , per definició de màxim s'ha de tenir m ≤ màx ( P ) i per tant m = màx ( P ), en altres paraules, un màxim, si existeix, és també l'únic maximal.

No és difícil veure que si ≤ és un ordre total en P , les nocions de màxim i maximal coincideixen: siguin mP un element maximal, i pP arbitrari, per la condició d'ordre total, o bé pm o bé mp , en el segon cas s'hauria p = m per definició de maximal, amb la qual cosa pm , i per tant, m = màx ( P ).

No sempre hi ha els elements maximals, ni tan sols en el cas en què P estigui totalment ordenat.

Exemples[modifica | modifica el codi]

  • Sigui P = [0, ∞ [⊆ R . Per tot mP s'ha x = m +1 ∈ P però m < x , de manera que cap m pot ser maximal.
  • Sigui P ={ qQ |1 ≤ q ² ≤ 2}, ja que l'arrel quadrada de 2 no és racional, aquest conjunt no té element maximal.
  • Sigui A un conjunt amb almenys dos elements, i sigui P ={ a }| aA }, parcialment ordenat per inclusió. Tot element de P és alhora maximal i minimal, i per a qualssevol{ a },{ b }∈ P diferents, ni{ a }⊆{ b }, ni{ b }⊆{ a }(amb el que no hi ha element màxim).
  • Sigui P ={( x , i ) ∈ R |0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ i ≤ 4}, prenent ( a , b ) ≤ ( c , d ) si ac i bd . Llavors P té un únic element maximal, (4,4), que alhora és màxim.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  • Birkhoff, Garrett. «Lattice Theory» (en anglès). Falta indicar la publicació. American Matemàtiques, Colloquium Publications [Estats Units], 1967, pàg. 423. ISSN: 0065-9258 [Consulta: 21 novembre 2010].