Monoide

En matemàtiques, un monoide és una estructura algebraica consistent en un conjunt dotat d'una llei de composició interna associativa i d'un element neutre. Un monoide és doncs, un magma associatiu i amb element neutre.

Amb altres paraules, $(E,\star,e)$ és un monoide si:

1. $\forall (x,y)\in E^2, x\star y \in E$ (llei de composició interna).
2. $\forall (x,y,z)\in E^3, x\star (y\star z) = (x\star y)\star z$ (associativitat)
3. $e\in E, \forall x\in E, x\star e=e\star x=x$ (element neutre).

A vegades es troben definicions de monoide en què no es requereix l'existència de l'element neutre.

Un monoide es diu simplificable a l'esquerra si

$\forall (a,b,c)\in E^3, a*b=a*c\Rightarrow b=c.$

De forma similar, es pot definir simplificable a la dreta.

Submonoide

Un submonoide d'un monoide $(E,\star,e)\,$ és un subconjunt $E'\,$ de $E\,$ que verifica

1. $\forall (x,y)\in (E')^2\, (x \in E'\, i\, y \in E') \Rightarrow (x\star y \in E')$ (estabilitat)
2. $e \in E'\,$

Exemples

• Monoide xinès.
• El conjunt dels naturals, amb l'addició, és un monoide, en què 0 és l'element neutre.
• El conjunt dels naturals, amb la multiplicació, és un monoide, d'element neutre 1, que no és simplificable ja que $(\forall (n,m), 0\cdot n=0\cdot m\,)$.
• El conjunt de les paraules formades sobre un alfabet, dotat de concatenació, és un monoide que s'anomena monoide lliure, en què la paraula muda és l'element neutre.
• El conjunt de les parts d'un conjunt, dotat de la unió de conjunts, és un monoide, en què el conjunt buit és l'element neutre.
• El conjunt de les parts d'un conjunt, dotat de la intersecció de conjunts, és també un monoide, en què l'element neutre és el conjunt total.