Moviment circular

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Esquema d'un moviment circular

A cinemàtica, un moviment circular és un model de moviment en el pla, on el cos que es mou té una trajectòria circular al voltant d'un centre o eix de gir.

La seva formulació i modelització es realitza en coordenades polars, ja que d'aquesta manera resulta més senzilla.

Caracterització del moviment circular[modifica | modifica el codi]

Posició angular o fase[modifica | modifica el codi]

Es representa per la lletres gregues φ o θ indistintament. Indica en quin punt de la trajectòria es troba la partícula. La distància recorreguda al llarg de l'arc es pot trobar amb la següent expressió:

\Delta x =\Delta \varphi \cdot R \ \ on:
R \ és el radi de curvatura
\Delta x \ és la distància lineal recorreguda
\Delta \varphi \ és l'angle girat

Velocitat angular[modifica | modifica el codi]

Es representa per la lletra grega \omega \ . És un vector perpendicular al pla on se situa el moviment. El seu mòdul ens indica amb quina rapidesa s'efectua el moviment; i el seu sentit, el sentit de la rotació. Per facilitar els càlculs normalment es treballa com a escalar, utilitzant el signe per diferenciar el sentit de rotació, i es representa amb una fletxa giratòria (veure la figura). Matemàticament es defineix el seu mòdul com la derivada de la fase respecte del temps.

\omega =\frac{d\varphi }{dt}=\dot{\varphi}

La següent expressió ens defineix el vector velocitat lineal \vec v en un MC com el producte vectorial de la velocitat angular \vec \omega (perpendicular al pla) i el vector posició de la partícula \vec r (que coincideix amb el radi de gir); d'aquesta manera la velocitat és sempre tangent a la trajectòria i perpendicular al radi:

Vectorialment: \vec{v}=\vec{\omega }\times \vec{r}
En mòdul: v=\omega \cdot R

Si el seu valor és 0 no hi ha moviment.

Si el seu valor és constant i diferent de 0, tindrem un moviment circular uniforme (MCU).

Si el seu valor depèn linealment del temps, tindrem un moviment circular uniformement accelerat (MCUA).


Acceleració angular[modifica | modifica el codi]

Es representa per la lletra grega \alpha \ . Ens indica la variació de la velocitat angular en el temps. Matemàticament és un vector perpendicular al pla de gir, que s'obté com la derivada del vector velocitat angular (\vec \omega) respecte del temps. Substituint l'equació de la fase és possible definir l'acceleració angular en funció d'aquesta. Això és especialment interessant quan tenim la velocitat angular definida en funció de la fase i no del temps.

\vec \alpha =\frac{d\vec \omega }{dt}=\omega \frac{d\omega }{d\varphi }

Si el seu valor és 0, tindrem un moviment circular uniforme (MCU).

Si el seu valor és constant i diferent de 0, tindrem un moviment circular uniformement accelerat (MCUA).

Freqüència[modifica | modifica el codi]

La freqüència (f \ ) es defineix com la quantitat de voltes que es fan en un temps determinat. És, per tant, la inversa del període.

f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}

Període[modifica | modifica el codi]

El període ( T \ ) es defineix com el temps que triga el cos en fer una volta sencera. És, per tant, la inversa de la freqüència.

T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi}{\omega}

Dinàmica del moviment circular[modifica | modifica el codi]

Acceleració tangencial i acceleració normal[modifica | modifica el codi]

En els moviments circulars l'acceleració es pot descompondre en dues components: una de perpendicular a la direcció del moviment, l'acceleració normal o centrípeta, i l'altra en la mateixa direcció que el moviment, l'acceleració tangencial.

L'acceleració tangencial (\vec a_t) mesura el canvi de la velocitat del mòbil en el temps. És un vector tangent a la trajectoria i, per tant, paral·lel al vector velocitat lineal. El seu valor pot ser zero (MCU). Matemàticament es defineix com el producte vectorial de l'acceleració angular (\vec \alpha) per la posició de la partícula (\vec r):

Vectorialment: \vec a_t=\vec \alpha \times \vec r
En mòdul: a_t=\alpha \cdot R

L'acceleració normal (\vec a_n) és aquella provocada per les forces centrípetes que originen el moviment circular. La seva direcció és perpendicular a la trajectòria, apuntant sempre cap al centre de gir. És present en qualsevol moviment circular i el seu mòdul es pot calcular segons la següent expressió:

a_n=\frac {{v}^2}{R}

Substituint la velocitat lineal \vec v per la velocitat angular \vec \omega (on \vec{v}=\vec{\omega }\times \vec{r}), obtenim:

\vec{a}_{n}=\frac{\vec{v}^{2}}{\vec r}=\frac{\left( \vec{\omega }\times \vec{r} \right)^{2}}{\vec r}=\frac{\vec{\omega }^{2}\times \vec{r}^{2}}{\vec r}=\vec{\omega }^{2}\times \vec{r}

Aquestes magnituds estan relacionades amb l'acceleració total que soporta la partícula en moviment segons la següent expressió:

Vectorialment: \vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}
En mòdul: a=\sqrt{{a_t}^{2}+{a_n}^{2}}


Força centrípeta[modifica | modifica el codi]

És aquella força resultant que crea l'acceleració normal. S'obté com la suma de totes les forces de direcció perpendicular a la trajectòria, considerant positives aquelles que apunten cap al centre de gir i negatives les altres. És per tant perpendicular a la trajectòria de la partícula. La seva existència és imprescindible per obtenir un moviment circular. En mòdul es pot expressar:

F_{c}=\sum{F_{\bot }}=m\cdot a_{n}=m\frac{v^{2}}{R}=m\omega ^{2}R

Moviment circular uniforme (MCU)[modifica | modifica el codi]

Moviment circular amb velocitat angular i mòdul de la velocitat lineal constants. Les acceleracions angular i tangencial seran, per tant, 0.

Per similitud amb el moviment rectilini, donat un angle inicial \varphi _0 \ i una velocitat angular \omega \ es pot expressar:

\varphi =\varphi _{0}+\omega \left( t-t_{0} \right)

Moviment circular uniformement accelerat (MCUA)[modifica | modifica el codi]

Moviment circular amb velocitat angular i mòdul de la velocitat linealment dependents del temps. Les acceleracions angular i tangencial seran, per tant, constants i diferents de 0.

Per similitud amb el moviment rectilini, donat un angle inicial \varphi _0 \ , una velocitat angular inicial \omega _0 \ i una acceleració angular \alpha \ es pot expressar:

\varphi =\varphi _{0}+\omega _{0}\left( t-t_{0} \right)+\frac{1}{2}\alpha (t-t_{0})^{2}

\omega =\omega _{0}+\alpha (t-t_{0}) \

\omega^2 ={\omega _{0}}^2+2\alpha (\varphi-\varphi_{0}) \