Moviment harmònic simple

Moviment Harmònic Simple, representació gràfica

A cinemàtica, s'anomena moviment harmònic a aquell moviment on un mòbil passa periòdicament pels mateixos punts de la seva trajectòria.

Quan el període d'un moviment harmònic es constant, s'anomena moviment harmònic simple (MHS).

Un MHS es produeix típicament quan un mòbil al qual s'ha donat una certa amplitud i/o velocitat inicials es troba sotmès als efectes d'una força conservativa. L'exemple més típic és una molla que puja i baixa quan l'estirem una mica.

Magnituds i caracterització del MHS

• Amplitud ($A$): és l'amplada de l'oscil·lació, mesurada des del centre fins a un dels extrems.

• Freqüència angular ($\omega$): també anomenada velocitat angular o pulsació, ens indica quina és la velocitat del moviment. Es mesura en 'radiants per segon' ($rad/s$). En MHS de trajectòria circular se simbolitza amb la lletra $\Omega$

• Període (T): és el temps emprat pel mòbil per completar un cicle del MHS. És l'invers de la freqüència.

• Freqüència (f): és el nombre de cicles per unitat de temps. És l'invers del període. Es mesura en 'hertz' ($Hz=s^{-1}$).

$\omega =2 \pi f = \frac{2 \pi }{T}$

$T=\frac{1}{f}=\frac{2 \pi }{\omega } \Leftrightarrow f=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2 \pi }$

• Fase ($\theta$): Ens indica en quin moment del cicle es troba el mòbil. De fet, és el terme que es troba dins la funció trigonomètrica en les equacions del model matemàtic.

$\theta =\phi _{0}+\omega t \$

Modelització

Les següents equacions/funcions permeten expressar la posició, velocitat i acceleració d'un mòbil en MHS en funció del temps:

$x(t)=x_0+A \sin(\phi_0+\omega t) \$

$v(t)=A \omega \cos(\phi_0+\omega t) \$

$a(t)=-A\omega^2 \sin(\phi_0+\omega t) \$

Obtenció de les equacions d'un MHS 

Mòbil en MHS

Prenent un mòbil que descrigui un MHS degut a una força conservativa recuperadora (un pes que penja d'una molla, per exemple), procedirem a demostrar les anteriors eqüacions partint de la segona llei de Newton.

$\sum{F}=m\cdot a$

L'única força que actua en aquest cas és la força recuperadora de la molla.

$\sum{F}=F_{recup}=-K\cdot x$

Expresem l'acceleració com la segona derivada de la posició respecte del temps.

$a=\frac{d^2 x}{dt^2}$

Substituim a la segona llei de Newton:

$-K\cdot x=m\cdot \frac{d^2 x}{dt^2}$

Operem:

$\frac{d^2 x}{dt^2}=-\frac{K}{m}\cdot x$

Definim $\omega =\sqrt{\frac{K}{m}} \Rightarrow \omega ^2=\frac{K}{m}$ i ho substituim:

$\frac{d^2 x}{dt^2}=-\omega ^2\cdot x$

Resolem l'equació diferencial i queda l'equació de la posició:

$x(t)=A \sin(\phi_0+\omega t) \$

Derivant podem obtenir l'equació de la velocitat

$v=\frac{dx}{dt}=A\omega \cos (\phi _{0}+\omega t)$

Derivant una altra vegada podem obtenir l'equació de l'acceleració:

$a=\frac{dv}{dt}=-A\omega ^{2}\cos (\phi _{0}+\omega t)$

 

Punts singulars

Quan la partícula es troba al centre del moviment:

$\theta =\phi _{0}+\omega t=0 \ \acute{o} \ \pi$

• $x=0 \$
• $v_{m\grave{a}x}=\pm A \omega \$
• $a=0 \$

Quan la partícula es troba en algun dels extrems:

$\theta =\phi _{0}+\omega t= \frac{\pi}{2} \ \acute{o} \ \frac{3 \pi}{2}$

• $x_{m\grave{a}x}=\pm A \$
• $v=0 \$
• $a_{m\grave{a}x}=\pm A \omega ^2 \$

Energia en el MHS

L'energia d'un mòbil en MHS té dues contribucions: l'energia potencial deguda a la presència d'una força conservativa i l'energia cinètica deguda a la velocitat del mòbil. L'energia mecànica és conserva (és obvi, ja que no hi ha forces no conservatives que puguin modificar-la). Per tant, podem calcular-la en qualsevol punt de la trajectòria; no obstant els extrems i el centre són preferibles ja que en aquests punts una de les dues contribucions s'anul·la.

$E_m=E_c+E_{p \, el}=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}Kx^2$

En el centre $x=0$ i per tant:

$E_m=\frac{1}{2}mv_{m\grave{a}x}^2=\frac{1}{2}m\left( A\omega \right)^2$

En un extrem $v=0$ i per tant:

$E_m=\frac{1}{2}Kx_{m\grave{a}x}^2=\frac{1}{2}KA^2$

MHS amb trajectòria circular: pèndol

Quan la trajectòria que segueix el mòbil es circular en comptes de recta, el funcionament no varia respecte als casos anteriors, sinó que només canvia la nomenclatura de moviment rectilini per la de moviment circular. Llavors les equacions quedarien:

$\phi(t)=\phi_0+\Phi \sin(\theta_0+\Omega t) \$

$\omega(t)=\Phi \Omega \cos(\theta_0+\Omega t) \$

$\alpha(t)=-\Phi \Omega^2 \sin(\theta_0+\Omega t) \$

Obtenció de les equacions d'un MHS de trajectòria circular 

Per demostrar el cas d'un cos amb moviment oscil·latori harmònic respecte un centre $O$ situat a una distància $D$ del centre de masses del cos cal emprar l'equació:

$M_{O}=I_{O}\alpha \$

Expressarem l'acceleració angular que pateix el cos com la segona derivada de la posició angular:

$\alpha =\frac{d^{2}\phi }{dt^{2}}$

Considerarem que l'única força que actua és la gravetat. Per tant el moment que es produeix respecte del punt O serà:

$M_{O}=-mgD \sin (\phi ) \$

En primera aproximació (Polinomi de Taylor de grau 1):

$\sin (\phi )\approx \phi$

Per tant l'expressió anterior queda:

$M_{O}=-mgD \phi \$

Substituint de la primera expressió:

$-mgD \phi =I_O \frac{d^{2}\phi }{dt^{2}}$

Simplificant i operant:

$-\frac{mgD}{I_{0}}\phi =\frac{d^{2}\phi }{dt^{2}}$

Definim $\ \Omega =\sqrt{\frac{mgD}{I_{0}}}\Leftrightarrow \Omega ^{2}=\frac{mgD}{I_{0}}$ i així queda:

$-\Omega ^{2}\phi =\frac{d^{2}\phi }{dt^{2}}$

Resolent l'equació diferencial:

$\phi(t)=\Phi \sin(\theta_0+\Omega t) \$

Derivant respecte del temps obtenim la velocitat angular:

$\omega(t)=\Phi \Omega \cos(\theta_0+\Omega t) \$

Derivant respecte del temps altra vegada obtenim l'acceleració angular:

$\alpha(t)=-\Phi \Omega^2 \sin(\theta_0+\Omega t) \$

Pèndol simple

El pèndol simple és un cas particular del pèndol que consisteix en una masssa, que es pot considerar puntual, penjada d'una barra o cable de massa menyspreable.

El moment angular d'una partícula puntual de massa $m$ rotant a una distància $L$ d'un centre $O$ és:

$I_{O}=mL^{2} \$

A partir d'aquí substituim i trobem la $\omega$ per aquest cas concret:

$\omega =\sqrt{\frac{mgL}{I_{O}}}=\sqrt{\frac{mgL}{mL^{2}}}=\sqrt{\frac{g}{L}}$

Aplicant la fórmula anterior podem trobar d'aquí el període d'un pèndol:

$T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

 

Punts singulars

Quan la partícula es troba al centre del moviment:

$\theta =\theta_{0}+\Omega t=0 \ \acute{o} \ \pi$

• $\phi=0 \$
• $\omega_{m\grave{a}x}=\pm \Phi \Omega \$
• $\alpha=0 \$

Quan la partícula es troba en algun dels extrems:

$\theta =\theta_{0}+\Omega t= \frac{\pi}{2} \ \acute{o} \ \frac{3 \pi}{2}$

• $\phi_{m\grave{a}x}=\pm \Phi \$
• $\omega=0 \$
• $\alpha_{m\grave{a}x}=\pm \Phi \Omega ^2 \$

Relació amb el Moviment Circular

Relació entre el moviment circular i el moviment harmònic

Existeix una correspondència entre el moviment circular i el moviment harmònic simple. Si formulem un moviment circular uniforme en coodenades rectangulars, el resultat és el següent:

$x=r \cos(\phi_0+\omega t) \$

$y=r \sin(\phi_0+\omega t) \$

Les dues coordenades mirades separadament, es corresponen a un moviment harmònic simple. De la mateixa manera és pot considerar qualsevol moviment harmònic simple generat per un moviment circular uniforme, del qual només es té en compte una coordenada. La velocitat angular, $\omega$, i l'angle inicial,$\phi_0$, corresponen a aquest hipotètic moviment circular.