Moviment harmònic simple

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Moviment Harmònic Simple, representació gràfica

En cinemàtica, s'anomena moviment harmònic a aquell moviment on un mòbil passa periòdicament pels mateixos punts de la seva trajectòria.

Quan el període d'un moviment harmònic és constant, s'anomena moviment harmònic simple (MHS).

Un MHS es produeix típicament quan un mòbil al qual s'ha donat una certa amplitud i/o velocitat inicials es troba sotmès als efectes d'una força conservativa. L'exemple més típic és una molla que puja i baixa quan l'estirem una mica.

Magnituds i caracterització del MHS[modifica | modifica el codi]

  • Amplitud (A): és l'amplada de l'oscil·lació, mesurada des del centre fins a un dels extrems.
  • Freqüència angular (\omega): també anomenada velocitat angular o pulsació, ens indica quina és la velocitat del moviment. Es mesura en 'radiants per segon' (rad/s). En MHS de trajectòria circular se simbolitza amb la lletra \Omega
  • Període (T): és el temps emprat pel mòbil per completar un cicle del MHS. És l'invers de la freqüència.
  • Freqüència (f): és el nombre de cicles per unitat de temps. És l'invers del període. Es mesura en 'hertz' (Hz=s^{-1}).
\omega =2 \pi f = \frac{2 \pi }{T}
T=\frac{1}{f}=\frac{2 \pi }{\omega } \Leftrightarrow f=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2 \pi }
  • Fase (\theta ): Ens indica en quin moment del cicle es troba el mòbil. De fet, és el terme que es troba dins la funció trigonomètrica en les equacions del model matemàtic.
\theta =\phi _{0}+\omega t \

Modelització[modifica | modifica el codi]

Les següents equacions/funcions permeten expressar la posició, velocitat i acceleració d'un mòbil en MHS en funció del temps:

x(t)=x_0+A \sin(\phi_0+\omega t) \
v(t)=A \omega \cos(\phi_0+\omega t) \
a(t)=-A\omega^2 \sin(\phi_0+\omega t) \


Punts singulars[modifica | modifica el codi]

Quan la partícula es troba al centre del moviment:

\theta =\phi _{0}+\omega t=0 \ \acute{o} \ \pi
  • x=0 \
  • v_{m\grave{a}x}=\pm A \omega \
  • a=0 \

Quan la partícula es troba en algun dels extrems:

\theta =\phi _{0}+\omega t= \frac{\pi}{2} \ \acute{o} \ \frac{3 \pi}{2}
  • x_{m\grave{a}x}=\pm A \
  • v=0 \
  • a_{m\grave{a}x}=\pm A \omega ^2 \

Energia en el MHS[modifica | modifica el codi]

L'energia d'un mòbil en MHS té dues contribucions: l'energia potencial deguda a la presència d'una força conservativa i l'energia cinètica deguda a la velocitat del mòbil. L'energia mecànica es conserva (és obvi, ja que no hi ha forces no conservatives que puguin modificar-la). Per tant, podem calcular-la en qualsevol punt de la trajectòria; no obstant els extrems i el centre són preferibles ja que en aquests punts una de les dues contribucions s'anul·la.

E_m=E_c+E_{p \, el}=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}Kx^2

En el centre x=0 i per tant:

E_m=\frac{1}{2}mv_{m\grave{a}x}^2=\frac{1}{2}m\left( A\omega \right)^2

En un extrem v=0 i per tant:

E_m=\frac{1}{2}Kx_{m\grave{a}x}^2=\frac{1}{2}KA^2

MHS amb trajectòria circular: pèndol[modifica | modifica el codi]

Quan la trajectòria que segueix el mòbil és circular en comptes de recta, el funcionament no varia respecte als casos anteriors, sinó que només canvia la nomenclatura de moviment rectilini per la de moviment circular. Llavors les equacions quedarien:

\phi(t)=\phi_0+\Phi \sin(\theta_0+\Omega t) \
\omega(t)=\Phi \Omega \cos(\theta_0+\Omega t) \
\alpha(t)=-\Phi \Omega^2 \sin(\theta_0+\Omega t) \


Punts singulars[modifica | modifica el codi]

Quan la partícula es troba al centre del moviment:

\theta =\theta_{0}+\Omega t=0 \ \acute{o} \ \pi
  • \phi=0 \
  • \omega_{m\grave{a}x}=\pm \Phi \Omega \
  • \alpha=0 \

Quan la partícula es troba en algun dels extrems:

\theta =\theta_{0}+\Omega t= \frac{\pi}{2} \ \acute{o} \ \frac{3 \pi}{2}
  • \phi_{m\grave{a}x}=\pm \Phi \
  • \omega=0 \
  • \alpha_{m\grave{a}x}=\pm \Phi \Omega ^2 \

Relació amb el Moviment Circular[modifica | modifica el codi]

Relació entre el moviment circular i el moviment harmònic

Existeix una correspondència entre el moviment circular i el moviment harmònic simple. Si formulem un moviment circular uniforme en coodenades rectangulars, el resultat és el següent:

x=r \cos(\phi_0+\omega t) \
y=r \sin(\phi_0+\omega t) \

Les dues coordenades mirades separadament, es corresponen a un moviment harmònic simple. De la mateixa manera es pot considerar qualsevol moviment harmònic simple generat per un moviment circular uniforme, del qual només es té en compte una coordenada. La velocitat angular, \omega, i l'angle inicial,\phi_0, corresponen a aquest hipotètic moviment circular.