Moviment relatiu

S'estableix el concepte moviment relatiu (tot i que sempre ho és ja que s'ha de referir a un sistema de referència o referencial particular escollit per l'observador), atès que diferents observadors poden utilitzar referencials diferents, i és important relacionar les observacions realitzades per aquells.

Exemple.

Una partícula es troba en moviment en un referencial si la seva posició pel que fa a ell canvia en el transcurs del temps, en cas contrari, la partícula està en repòs en aquest referencial. D'aquestes definicions, veiem que tant el concepte de moviment com el de repòs són relatius. Així, el passatger que està assegut en un vagó de ferrocarril es troba en repòs respecte al vagó, però com el tren es mou pel que fa a la Terra, el passatger es troba en moviment respecte als arbres que observa des del tren. Al seu torn, aquests arbres estan en repòs respecte de la Terra, però en moviment respecte del passatger del tren.

A efectes pràctics, podem distingir dues modalitats de moviment relatiu:

• Moviment relatiu entre dues partícules en un mateix referencial.
• Moviment relatiu d'una partícula en dues referencials diferents en moviment relatiu entre si.

Moviment relatiu entre dues partícules en un mateix referencial

Moviment relatiu entre dues partícules en moviment respecte a un mateix referencial xyz

Considerem dues partícules, A i B , que es mouen en l'espai i siguin $\mathbf r_ \text{A}$ i $\mathbf r_ \text{B}$ seus vectors de posició pel que fa a l'origen O d'un referencial donat. Les velocitats de A i B mesures en aquest referencial seran

(1) $\mathbf v_ \text{A}= \frac{d \mathbf r_ \text{A}}{dt}\qquad\mathbf v_ \text{B}= \frac{d \mathbf r_ \text{B}}{dt}$

Els vectors de posició (relativa) de la partícula B pel que fa a la A i de la A pel que fa a la B estan definits per

(2) $\mathbf r_ \text{BA}= \overrightarrow \text{AB}= \mathbf r_ \text{B}- \mathbf r_ \text{A} \qquad \mathbf r_ \text{Ab}= \overrightarrow \text{BA}= \mathbf r_ \text{B}- \mathbf r_ \text{A}$

i les velocitats (relatives) de B pel que fa a A i de A pel que fa a B són

(3) $\mathbf v_ \text{BA}= \frac{d \mathbf r_ \text{BA}}{dt} \qquad \mathbf v_ \text{AB}= \frac{d \mathbf r_ \text{AB}}{dt}$

Ja que $\mathbf r_ \text{BA}= - \mathbf r_ \text{AB}$, també resulta que $\mathbf v_ \text{BA}= - \mathbf v_ \text{AB}$, de manera que les velocitats relatives de B respecte a A i de A respecte a B són iguals i oposades.

Efectuar les derivades (3), resulta

(4) $\frac{d \mathbf r_ \text{BA}}{dt}= \frac{d \mathbf r_ \text{B}}{dt}- \frac{d \mathbf r_ \text{A}}{dt} \qquad \frac{d \mathbf r_ \text{AB}}{dt}= \frac{d \mathbf r_ \text{A}}{dt}- \frac{d \mathbf r_ \text{B}}{dt}$

o sigui que

(5) $\mathbf v_ \text{BA}= \mathbf v_ \text{B}- \mathbf v_ \text{A} \qquad \mathbf v_ \text{AB}= \mathbf v_ \text{A}- \mathbf v_ \text{B}$

de manera que obtindrem la velocitat relativa entre les dues partícules restant vectorialment les seves velocitats respecte a un mateix referencial (Oxyz a la figura).

Derivant de nou les expressions (5) tenim per a les acceleracions relatives

(6) $\frac{d \mathbf v_ \text{BA}}{dt}= \frac{d \mathbf v_ \text{B}}{dt}- \frac{d \mathbf v_ \text{A}}{dt} \qquad \frac{d \mathbf v_ \text{AB}}{dt}= \frac{d \mathbf v_ \text{A}}{dt}- \frac{d \mathbf v_ \text{B}}{dt}$

Els primers membres de (6) són les acceleracions relatives de B respecte a A i de A respecte a B. Els altres termes són les acceleracions de A i de B amb respecte a un mateix observador Oxyz.

Tenim

(7) $\mathbf a_ \text{BA}= \mathbf a_ \text{B}- \mathbf a_ \text{A} \qquad \mathbf a_ \text{AB}= \mathbf a_ \text{A}- \mathbf a_ \text{B}$

seguint per les acceleracions relatives la mateixa regla que per a les velocitats.

Moviment relatiu d'una partícula en dues referencials

Sistema de referència fix o absolut (XYZ) i sistema de referència mòbil o relatiu (xyz) en moviment general (rototraslatorio) respecte al referencial absolut.

En aquest cas, el moviment relatiu fa referència al que presenta una partícula respecte a un sistema de referència (xyz), anomenat referencial relatiu o mòbil per estar en moviment respecte a un altre sistema de referència (XYZ) considerat com referencial absolut o fix.

El moviment d'un referencial respecte a l'altre pot ser una translació, una rotació o una combinació d'ambdues (moviment rototraslatorio).

Velocitat

La velocitat $\mathbf v_ \text{F}\,$ d'una partícula en un referencial fix/o absolut i la seva velocitat $\mathbf v_ \text{M}\,$ en un referencial mòbil o relatiu estan relacionades mitjançant l'expressió:

(8) $\mathbf v_\text{F} = \mathbf v_\text{M} \ + \mathbf v_\text{o} \ + \boldsymbol\omega \times \mathbf r$

sent:

$\mathbf v_ \text{F} \,$ la velocitat de la partícula en el referencial fix ( velocitat absoluta ).

$\mathbf v_ \text{M} \,$ la velocitat de la partícula en el referencial mòbil ( velocitat relativa ),

$\mathbf v_ \text{o} \,$ la velocitat de l'origen del referencial mòbil al referencial fix ( arrossegament de translació ),

$\boldsymbol \omega \,$ la velocitat angular del referencial mòbil respecte del referencial fix ( velocitat angular d'arrossegament ),

$\boldsymbol \omega \times \mathbf r \;$ la velocitat de arrossegament de rotació .

Els dos últims termes representen la velocitat d'arrossegament total, de manera que podem escriure

$\mathbf v_ \text{arr}= \mathbf v_ \text{o}\ + \boldsymbol \omega \times \mathbf r$

que coincideix amb la velocitat corresponent un punt d'un sòlid rígid en moviment.

Podem expressar la velocitat de la partícula en el referencial fix en la forma

$\mathbf v_ \text{F}= \mathbf v_ \text{M}\ + \mathbf v_ \text{arr}$

Acceleració

L'acceleració $\mathbf a_ \text{F}\,$ d'una partícula en un referencial fix/o absolut i la seva acceleració $\mathbf a_ \text{M}\,$ en un referencial mòbil o relatiu estan relacionades mitjançant l'expressió:

(9) $\mathbf a_ \text{F}= \mathbf a_ \text{M}\ + \mathbf a_ \text{o}\ + \dot \boldsymbol \omega \times \mathbf r \ + \boldsymbol \omega \times (\boldsymbol \omega \times \mathbf r) \ + 2 \boldsymbol \omega \times \mathbf v_ \text{M}$

sent:

$\mathbf a_ \text{F}\,$ l'acceleració de la partícula en el referencial fix ( acceleració absoluta ).

$\mathbf a_ \text{M}\,$ l'acceleració de la partícula en el referencial mòbil ( acceleració relativa ),

$\mathbf v_ \text{M}\,$ la velocitat de la partícula en el referencial mòbil ( velocitat relativa ),

$\mathbf a_ \text{o}\,$ l'acceleració de l'origen del referencial mòbil al referencial fix ( arrossegament de translació ),

$\dot \boldsymbol \omega \times \mathbf r \;$ l'acceleració tangencial ( arrossegament de rotació ),

$\boldsymbol \omega \times (\boldsymbol \omega \times \mathbf r) \,$ l'acceleració normal o centrípeta ( arrossegament de rotació ),

$2 \boldsymbol \omega \times \mathbf v_ \text{M}\,$ l'acceleració complementària o acceleració de Coriolis .

Si la partícula es troba en repòs en el referencial mòbil, és a dir, si $\mathbf v_ \text{M}= 0 \,$ i $\mathbf a_ \text{M}= 0 \,$, la seva acceleració en el referencial fix és l ' acceleració d'arrossegament , que ve donada per

$\mathbf a_ \text{arr}= \mathbf a_ \text{o}\ + \dot \boldsymbol \omega \times \mathbf r \ + \boldsymbol \omega \times (\boldsymbol \omega \times \mathbf r)$

que coincideix amb l'acceleració corresponent un punt d'un sòlid rígid en moviment.

Podem expressar l'acceleració de la partícula en el referencial fix en la forma

$\mathbf a_ \text{F}= \mathbf a_ \text{M}\ + \mathbf a_ \text{arr}\ + \mathbf a_ \text{C}$

Translació només

L'acceleració d'una partícula en un referencial fix o absolut $\mathbf a_ \text{F}\,$ i en un referencial mòbil o relatiu, $\mathbf a_ \text{M}\,$, estan relacionades mitjançant l'expressió:

$\mathbf a_ \text{F}= \mathbf a_ \text{M}\ + \mathbf a_ \text{o}$

Només rotació

L'acceleració d'una partícula en un referencial fix o absolut $\mathbf a_ \text{F}\,$ i en un referencial mòbil o relatiu, $\mathbf a_ \text{M}\,$, estan relacionades mitjançant l'expressió:

$\mathbf a_ \text{F}= \mathbf a_ \text{M}\ + \dot \boldsymbol \omega \times \mathbf r \ + \boldsymbol \omega \times (\boldsymbol \omega \times \mathbf r) \ + 2 \boldsymbol \omega \times \mathbf v_ \text{M}$

Vegeu també

• Velocitat relativa
• Acceleració relativa
• Moviment helicoïdal

Bibliografia

• Ortega, Manuel R.. Lliçons de Física (4 volums) (en espanyol). Monytex, 1989-2006. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398 - 9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. 
• Resnick, Robert & Halliday, David. Física 4 ª (en espanyol). CECS, Mèxic, 2004. ISBN 970-24-0257-3. 
• Tipler, Paul A.. Física per a la ciència i la tecnologia (2 volums) (en espanyol). Barcelona: Ed Reverté, 2000. ISBN 84-291-4382-3.