Multiplicitat

En matemàtiques, la multiplicitat d'un membre d'un multiconjunt és el nombre de vegades que aquest pertany al multiconjunt. Per exemple, aquest terme s'utilitza per referir-se al nombre de vegades que un cert polinomi té arrel en un punt determinat.

La raó més habitual per considerar nocions de multiplicitat és per comptar sense especificar excepcions (per exemple, especificar que les arrels dobles es compten dues vegades). D'aquí l'expressió comptat amb multiplicitat (en ocasions implícita).

Multiplicitat d'un factor primer

En la factorització (descomposició en producte de factors primers o factorització en nombres primer)

60 = 2 × 2 × 3 × 5

la multiplicitat de 2 és 2; la de 3 és 1, i la de 5 és 1.

Multiplicitat de l'arrel d'un polinomi

Sigui $F$ un camp i $p(x)$ un polinomi d'ina variable amb coeficients en $F$. Un element a</math> ∈ $F$ s' anomena arrel de multiplicitat$k$ de $p(x)$ si existeix un polinomi $s(x)$ tal que $s(a)$ ≠ $0$ i $p(x)$ = $(x-a)^ks(x)$. Si $k=1$, aleshores $a$ rep el nom de arrel simple.

Per exemple el polinomi $p(x)=x^3+2x^2-7x+4$ té $1$ i $-4$ como arrels, i pot escriuries com $p(x)=(x+4)(x-1)^2$. Això significa que $1$ és una arrel de multiplicitat $2$, i $-4$ és una arrel 'simple' (multiplicitat $1$).

Multiplicitat de zero de una funció

Sigui $I$ un interval d' R i $f$ una funció de $I$ a R o C i $c$ ∈ $I$ sigui un zero de $f$, per exemple, un punt tal que $f(c)=0$. El punt $c$ pren el nombre de zero de multiplicitat $k$ de $f$ si existeix un nombre real $l$ ≠ $0$ tal que

$\lim_{x\to c}\frac{|f(x)|}{|x-c|^k}=\ell.$

De forma més general, sigui $f$ una funció d' un subconjunt obert $A$ d' un espai vectorial amb norma $E$ en un espai vectorial amb norma $F$, i sigui $c$ ∈ $A$ zero de $f$, per exemple, un punt tal que $f(c)$ = $0$. El punt $c$ ren el nom de zero de multiplicitat $k$ de $f$ si existeix un nombre real $l$ ≠ $0$ tal que

$\lim_{x\to c}\frac{\|f(x)\|_{\mathcal F}}{\|x-c\|_{\mathcal E}^k}=l.$

El punt $c$ s' anomena zero de multiplicitat ∞ de $f$ si par cada $k$, es compleix que

$\lim_{x\to c}\frac{\|f(x)\|_{\mathcal F}}{\|x-c\|_{\mathcal E}^k}=0.$

Exemple 1. Donat que

$\lim_{x\to 0}\frac{|\sin x|}{|x|}=1,$

0 es un zero de multiplicitat 1 de la funció sinus.

Exemple 2. Donat que

$\lim_{x\to 0}\frac{|1-\cos x|}{|x|^2}=\frac 12,$

0 es un zero de multiplicitat 2 de la funció $1-\cos$.

Exemple 3. Consideris la funció $f$ de R en R tal que $f(0) = 0$ i que $f(x)= \exp(1/x^2)$ quan $x$ ≠ $0$. Aleshores, donat que

$\lim_{x\to 0}\frac{|f(x)|}{|x|^k}=0$ per tot $k$ ∈ N

0 és un zero de multiplicitat ∞ per la funció $f$.

En anàlisi complexa

Sigui $z_0$ una arrel d' una funció holomorfa $f$, i $n$ l' últim enter positiu $m$ tal que, la $m$^éssima derivada de $f$ avaluada en $z_0$ es diferent de zero. Aleshores la sèrie de potències de $f$ sobre $z_0$ comença amb el terme $n$éssim, i $f$ aleshores té arrel de multiplicitat (o “ordre”) $n$. Si $n=1$, l' arrel rep el nom d' arrel simple (Krantz 1999, p. 70).

Vegeu també

• Zero (anàlisi complexa)
• Teorema fonamental de l'àlgebra
• Valor propi, vector propi i espai propi

Referències

• Krantz, S. G. Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, 1999. ISBN 0-8176-4011-8.