Nombre d'Euler

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En teoria de nombres, els nombres d'Euler són una successió matemàtica En d'enters definits pel desenvolupament en Sèrie de Taylor següent:

\frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^{t} + e^ {-t} } = \sum_{n=0}^{\infin}  \frac{E_n}{n!} \cdot t^n\!

on cosh t és el cosinus hiperbòlic. Els Nombres d'Euler apareixen com un valor especial dels polinomis d'Euler.

Els Nombres d'Euler amb subíndex senar són tots zero. Els que tenen subíndex parell (successió A028296 a l'OEIS) tenen signes alternats. Alguns valors són:

E0 = 1
E2 = −1
E4 = 5
E6 = −61
E8 = 1 385
E10 = −50 521
E12 = 2 702 765
E14 = −199 360 981
E16 = 19 391 512 145
E18 = −2 404 879 675 441

Alguns autors reindexen la successió per ometre els nombres d'Euler senars amb valor zero, i/o converteixen tots els ssignes en positius. Aquest article s'adhereix a la convenció adoptada a dalt.

Els Nombres d'Euler apareixen en els desenvolupaments en sèrie de Taylor de la secant i la secant hiperbòlica. Aquesta última és la funció de la definició. També apareixen en combinatòria; vegeu permutació alternada.

Aproximació asimptòtica[modifica | modifica el codi]

Els Nombres d'Euler augmenten bastant ràpidament per a subíndexs grans, tenen la fita inferior següent

 |E_{2 n}| > 8 \sqrt { \frac{n}{\pi} } \left(\frac{4 n}{ \pi e}\right)^{2 n} \ .

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]