Nombre d'Euler

En teoria de nombres, els nombres d'Euler són una successió matemàtica E_n d'enters definits pel desenvolupament en Sèrie de Taylor següent:

$\frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^{t} + e^ {-t} } = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{E_n}{n!} \cdot t^n\!$

on cosh t és el cosinus hiperbòlic. Els Nombres d'Euler apareixen com un valor especial dels polinomis d'Euler.

Els Nombres d'Euler amb subíndex senar són tots zero. Els que tenen subíndex parell (successió A028296 a l'OEIS) tenen signes alternats. Alguns valors són:

E₀ = 1

E₂ = −1

E₄ = 5

E₆ = −61

E₈ = 1 385

E₁₀ = −50 521

E₁₂ = 2 702 765

E₁₄ = −199 360 981

E₁₆ = 19 391 512 145

E₁₈ = −2 404 879 675 441

Alguns autors reindexen la successió per ometre els nombres d'Euler senars amb valor zero, i/o converteixen tots els ssignes en positius. Aquest article s'adhereix a la convenció adoptada a dalt.

Els Nombres d'Euler apareixen en els desenvolupaments en sèrie de Taylor de la secant i la secant hiperbòlica. Aquesta última és la funció de la definició. També apareixen en combinatòria; vegeu permutació alternada.

Aproximació asimptòtica

Els Nombres d'Euler augmenten bastant ràpidament per a subíndexs grans, tenen la fita inferior següent

$|E_{2 n}| > 8 \sqrt { \frac{n}{\pi} } \left(\frac{4 n}{ \pi e}\right)^{2 n} \ .$

Vegeu també

• Nombre de Bernoulli
• Nombre de Bell

Enllaços externs

• Euler number a MathWorld.
• The first 1000 Euler numbers deProjecte Gutenberg
• Successió Plantilla:OEIS2C a On-Line Encyclopedia of Integer Sequences