Nombre de Fermat

Un nombre de Fermat, anomenat així en honor de Pierre de Fermat, qui fou el primer a estudiar aquest nombres, és un nombre natural de la forma:

$F_{n}=2^{2^{n}}+1$

on n és natural. Els nombres primers de Fermat són nombres de Fermat que a la vegada són primers.

Pierre de Fermat va conjecturar que tots els nombres naturals de la forma

$F_{n}=2^{2^{n}}+1$

amb n natural eren nombres primers (els cinc primers termes, 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) i 65537 (n=4) ho són), però l'any 1732 Leonhard Euler va provar que no era així. En efecte, si es pren n=5 s'obté un nombre compost:

$F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417\;$

4294967297 és el nombre més petit que, sent un nombre de Fermat, no és primer.

Actualment, només es coneixen cinc nombres primers de Fermat, que són els que ja es coneixien en temps del mateix Fermat, i actualment només es coneix la factorització completa dels dotze primers nombres de Fermat (des de n=0 fins a n=11).

Aquestes són algunes de les conjectures que existeixen avui dia sobre aquests nombres:

1. Només hi ha cinc nombres primers de Fermat (3, 5, 17, 257 i 65537)?
2. Hi ha infinits cosins de Fermat?

Alguns nombres de Fermat i la seva factorització

Els nou primers nombres de Fermat són (successió A000215 a l'OEIS):

F0	=	2¹	+	1	=	3
F1	=	2²	+	1	=	5
F₂	=	24	+	1	=	17
F₃	=	28	+	1	=	257
F₄	=	2¹⁶	+	1	=	65,537
F₅	=	2³²	+	1	=	4,294,967,297
					=	641 × 6,700,417
F₆	=	264	+	1	=	18,446,744,073,709,551,617
					=	274,177 × 67,280,421,310,721
F₇	=	2128	+	1	=	340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457
					=	59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721
F₈	=	2256	+	1	=	115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,937
					=	1,238,926,361,552,897 × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321

Bibliografia

• 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer, Springer, CMS Books 9, ISBN 0-387-95332-9 (This book contains an extensive list of references.)
• S. W. Golomb, On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities, Canad. J. Math. 15(1963), 475–478.
• Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; sections A3, A12, B21.
• Florian Luca, The anti-social Fermat number, Amer. Math. Monthly 107(2000), 171-173.
• Michal Křížek, Florian Luca and Lawrence Somer(2002), On the convergence of series of reciprocals of primes related to the Fermat numbers, J. Number Theory 97(2002), 95–112.
• A. Grytczuk, F. Luca and M. Wojtowicz(2001), Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers, Southeast Asian Bull. Math. 25(2001), 111-115.

Vegeu també

• Nombre primer de Mersenne
• Nombre primer de Gauss
• Pierre de Fermat
• Construcció amb regle i compàs
• Quadratura del cercle
• Duplicació del cub
• Trisecció de l'angle
• Nombre construïble
• Polígon construïble

Enllaços externs

• Generalized Fermat Prime search
• http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Fermats
• http://www.prothsearch.net/fermat.html Arxivat 2016-02-10 a Wayback Machine. (Factorització dels nombres de Fermat)
• Sequence of Fermat numbers at OEIS.