Nombre de Sierpiński

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, un nombre de Sierpiński és un nombre natural imparell k tal que els enters de la forma 2^n  k + 1 són compostos (no són primers) per tot nombre natural n.

En altres paraules, quan k és un nombre de Sierpiński, tots els elements del següent conjunt són nombres compostos:

\left\{\, 2^n k + 1 : n \in\mathbb{N}\,\right\}

Els nombres d'aquest conjunt amb k imparell i k < 2^n s'anomenen nombres de Proth.

El 1960 Waclaw Sierpiński va demostrar que existeixen infinits enters senars que en ser utilitzats com a k produeixen nombres no primers.

El Problema de Sierpiński és: "Quin és el menor nombre de Sierpiński?"

El 1962, John Selfridge va proposar el que es coneix com la Conjectura de Selfridge: que la resposta al problema de Sierpiński era el nombre 78,557. Selfridge va demostrar que fent k=78,557, tots els elements del conjunt generat podien ser factoritzats per elements del conjunt {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}. Per tant, va demostrar que 78,557 era un nombre de Sierpiński.

Per tal de demostrar que 78,557 és el nombre de Sierpiński més petit, s'ha de provar que tots els nombres senars menors que 78,557 no són nombres de Sierpiński. A data de maig de 2007, s'ha provat per a tots, excepte per a set d'aquests nombres: 10223, 21181, 22699, 24737, 33661, 55459, 67607. Cal recalcar que el dia 6 de maig de 2007 es va descartar el nombre 19249, en comprovar-se que 19249.2^{13018586} +1 era primer. Aquest nombre té 3918990 xifres, fet que el converteix en el nombre primer més gran que es coneix, tret dels primers de Mersenne.

Seventeen or Bust, un projecte de computació distribuïda, està provant els nombres restants. Si el projecte troba que tots aquests nombres generen un primer quan són utilitzats com a k, el projecte haurà trobat la prova a la conjectura de Selfridge.


Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]