Nombre decimal periòdic

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Els nombres decimals periòdics són aquells nombres en els quals la seva part decimal és inexacta i infinita, l'últim nombre no s'acaba mai. Els nombres decimals periòdics es representen afegint al període el símbol periòdic( \widehat{ }). Amb els nombres decimals periòdics resulta impossible calcular operacions matemàtiques exactes, per tant s'ha de transformar el nombre en una fracció per després calcular-ne el resultat.

El nombre periòdic és un nombre racional caracteritzat per tenir un període (xifres que es repeteixen indefinidament) en la seva representació decimal. Aquest període pot ser un únic número, com en 1/3 = 0. 3 333 ..., o una sèrie de números, com a 1/7 = 0. 142857 142857 ... . El període es pot expressar escrivint un arc sobre de la xifres o conjunt de xifres en repetició, per exemple  2/3 = 0, \widehat{6}, amb més d'una xifra  12/11 = 1, \widehat{09} i amb un període no immediat després de la coma  12/1100 = 0,01 \widehat{09}

Fracció generatriu d'un nombre periòdic[modifica | modifica el codi]

Per fer una fracció igual a un nombre periòdic (fracció generatriu), primer cal diferenciar entre dos tipus:

  • Nombre periòdic pur: Quan immediatament després de la coma hi ha una o més xifres periòdiques. Per obtenir una fracció d'aquests números, seguim aquests passos:
    • Imaginem que el nombre decimal, amb la seva xifra periòdica no ho és, així, multipliquem per 1 seguit de tants zeros com nombres decimals hagin quedat (  65 '\widehat{7876}, quedaria així:  657876 '\widehat{45}. Hem multiplicat aquest número per 10.000, després tornem a posar el període)
    • Fem una mena de resta:

10.000 x - x = 9.999 x


 657.876 '\widehat{7876}- 65' \widehat{7876}= 657.811

Posem la xifra sense x en el numerador i la xifra amb x en el denominador, de manera que ens quedaria com fracció generatriu:

 \frac{657.811}{9.999}= \frac{59.801}{909}.

  • Nombre periòdic mixt: Quan no immediatament després de la coma hi ha una o més xifres periòdiques. Per obtenir una fracció d'aquests números, seguim aquests passos:
    • Primer multipliquem per 1 seguit de tants zeros com nombres decimals hagi abans del primer número periòdic.
    • Després fem el mateix que amb el número periòdic mixt, multipliquem i ja tenim el número amb el que anem a treballar. Seria així:

 6'6 \widehat{78}, primer multipliquem per 10 ( 66 '\widehat{78}), a continuació multipliquem el període per 100 ( 6678' \widehat{78}). I repetim el mateix procés que amb l'exemple anterior, però amb una modificació, per a trobar el minuend de la "resta", multipliquem les 2 xifres seguides de zero (en aquest cas, 100 i 10) i després al resultat, li restem l' més petit (10). Pel que quedaria així:

1.000 x - 10 x = 990 x

 6678 '\widehat{78}- 66' \widehat{78}= 6612

Igual que abans, posem la xifra sense x en el numerador i la xifra amb x en el denominador. Per tant, ens quedaria com fracció generatriu:

 \frac{6.612}{990}= \frac{1.102}{165}

    • Una altra manera de fer aquest procediment de manera més senzilla és escrivint tots els dígits sense la coma decimal, (En  65 '\widehat{7876}, = 657876, a aquest nombre li restem la part del nombre no periòdica = 657876-65 (tot això seria el numerador, per al denominador posem un nou si és periòdic pur o un 90 si és periòdic mixt.
    • Donada una fracció irreductible (és a dir, en la qual numerador i denominador són primers entre si, i per tant no es pot simplificar més) és senzill saber si és periòdica pura, mixta o exacta, sense fer la divisió:
 * Si en descompondre el denominador en factors aquests són només el 2 i/o el 5, serà exacta:
   Per exemple 7/20, com 20 = 2 * 2 * 5, serà exacta, en efecte és 7/20 = 0,35
   Per exemple 7/25, com 25 = 5 * 5, serà exacta, en efecte és 7/25 = 0,28
 * Si en descompondre el denominador en factors aquests no contenen ni al 2 ni al 5, serà periòdica pura:
   Per exemple 5/21, com 21 = 3 * 7, serà periòdica pura, en efecte és 5/21 = 0,238095 238095 238095 ....
 * Si en descompondre el denominador en factors aquests contenen al 2 i/o al 5, ia més algun altre factor, serà periòdica mixta:
   Per exemple 5/42, com 42 = 2 * 3 * 7, serà periòdica mixta, en efecte és 5/42 = 0,1 190476 190476 190476 ....


Com obtenir un nombre decimal periòdic[modifica | modifica el codi]

Primer de tot definim dos conceptes:

  • Direm P al conjunt de xifres que es repeteixen, per exemple en 0,12312313, P valdrà 123
  • Direm N al nombre de xifres de P, en l'exemple anterior seria 3.

Així, per obtenir el nombre 0,123123123... farem la següent operació:

P /(10^N-1)

En l'exemple anterior seria:

123/(10^3-1) = 123/(1000-1) = 123 /999 = 0,123123123...

Igual que un decimal recurrent, és un decimal en el que un dígit o un grup de dígits es repeteix infinites vegades. Qualsevol decimal periòdic es pot expressar sempre en la forma d'una fracció. Per tant, un decimal periòdic és un nombre racional.