Nombre imaginari

De Viquipèdia

Sistema de nombres en matemàtiques

Conjunts de nombres

ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ ⊆ ℂ naturals ℕ negatius enters ℤ racionals ℚ irracionals reals ℝ complexos ℂ

Nombres destacables

π ≈ 3,14159265... e ≈ 2,7182818284... Φ ≈ 1,6180339887... i (amb i ² = −1)

Nombres amb propietats destacables

Primers, abundants, amics, compostos, defectius, perfectes, sociables, algebraics, transcendents

Extensions dels nombres complexos

bicomplexos hipercomplexos quaternions octonions setenions super-reals hiper-reals sub-reals

Nombres Especials

Nominals Ordinals {1r, 2n, ...} Cardinals Infinit ∞ Nombres infinits Nombres transfinits

Altres nombres importants

Seqüència d'enters Constants matemàtiques Llistat de nombres Nombres grans

Sistemes de numeració

Àrab, armeni, àtica (grega), babilònica, ciríl·lica, egípcia, etrusca, grega (jònica), hebrea, índia, japonesa, khmer, maia, romana, tailandesa, xinesa. Numerals en base constant: binari (2) quinari (5) octal (8) decimal (10) duodecimal (12) hexadecimal (16) vigesimal (20) sexagesimal (60)

Un nombre imaginari, és un nombre que elevat al quadrat resulta un nombre real més petit o igual que zero. Els nombres imaginaris van ser definits l'any 1572 per Rafael Bombelli. Inicialment molts matemàtics eren reticents a considerar-los com a nombres, entre ells René Descartes que va encunyar el terme amb propòsit despectiu.

Tots els nombres imaginaris poden ser expressats com a bi on b és un nombre real, i representem com a i la unitat imaginària, que té la propietat que i² = -1. Com que qualsevol nombre negatiu -n es pot expressar com a -1·n, resulta que de manera que:.

Amb el conjunt de nombres imaginaris es pot estendre el conjunt dels reals fins al conjunt dels nombres complexos. Tenint-ho en compte podem definir també els nombres imaginaris com a aquells complexos de forma a+bi que tenen com a part real a=0.

En electrònica, així com en moltes altres disciplines, per no confondre la i freqüentment utilitzada per expressar les intensitats o altres magnituds físiques, es fa servir la j com a indicador de la unitat imaginària.

[edita] Operacions amb nombres imaginaris

[edita] Suma i resta de nombres imaginaris

Els nombres imaginaris se sumen i resten com si fossin nombres reals, conservant sempre la i indicador de nombre imaginari.

ai + bi = (a+b)i

ai - bi = (a-b)i

Per exemple:

i + 4i = 5i

2,3i −1,6i +5,7i = 6,4i

[edita] Multiplicació i divisió de nombres imaginaris

En multiplicar dos nombres imaginaris o dividir un real entre un imaginari, s'ha de tenir en compte que i·i = -1:

D'aquesta manera:

ai · bi = -(a·b)

a · bi = (a·b) i

ai / bi = a/b

ai / b = (a/b) i

a / bi = -(a/b)i

Si b és nul la divisió no està definida.