Nombre pentagonal

Representació visual dels 6 primers nombres pentagonals.

Un nombre pentagonal és un nombre figurat que estén el concepte de nombre triangular i quadrat al pentàgon, però, a diferència dels dos primers, els patrons utilitzats en la construcció dels nombres pentagonals no són simètricament rotacionals.

L’n-èssim nombre pentagonal p_n és el nombre de diferents punts en un patró de punts, que consisteix en el contorn de pentàgons regulars amb costats que contenen de 1 a n punts, superposats, de forma que tenen en comú el vèrtex.

Definició

Cada nombre pentagonal p_n està definit per la següent fórmula:

$p_n = \frac{n(3n-1)}{2}$

Per n ≥ 1, n ∈ N, els primers nombres pentagonals són:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117 ...

L’n-èssim nombre pentagonal és la tercera part del (3n-1)-èssim nombre triangular.

Els nombres pentagonals són importants en la teoria de particions de Leonhard Euler, tal i com està expressat en el seu teorema del nombre pentagonal.

Generalitzacions

Els nombres pentagonals generalitzats són obtinguts de la fórmula descrita a dalt, però ara n pren valors de la seqüència 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4..., produint:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22...

Els nombres pentagonals no s'han de confondre amb els nombres pentagonals centrats.

Tests per nombres pentagonals

Un pot comprovar si un nombre x és un nombre pentagonal fent la següent operació:

$n = \frac{\sqrt{24x+1} + 1}{6}$

Si n resulta un nombre enter, llavors x és l'n-èssim nombre pentagonal. Si n no és un nombre enter, llavors x no és pentagonal.

Enllaços externs

• Pentagonal number (anglès)
• Pentagonal number theorem (anglès)