Nombre triangular

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Els sis primers nombres triangulars.

Un nombre triangular és el resultat de sumar els n primers nombres naturals. S'anomenen d'aquesta manera perquè són el nombre d'elements necessaris per crear un triangle equilàter.

La fórmula per trobar l'n-èsim nombre triangular és:

 T_n=\sum_{k=1}^n k = 1+2+3+ \dotsb +(n-1)+n = \frac{n(n+1)}{2}

També és igual al coeficient binomial  {n+1 \choose 2} .

Observem que cada nombre triangular T_n conté una fila més que l'anterior, T_{n-1}, de forma que es compleix la següent recurrència:

 T_n = T_{n-1} + n

Origen[modifica | modifica el codi]

Tot i que actualment, es pren per conveni el primer nombre triangular com l'1, el primer nombre triangular històricament rellevant fou el Tetractys, format per deu punts. Els nombres triangulars, i en particular el Tetractys, foren estudiats àmpliament pel filòsof Pitàgores i els seus deixebles. Els pitagòrics consideraven el nombre 10 un nombre universal, ja que segons ells el nombre 10 englobava tot l'univers seguint el següent principi:

  • El 10 era la suma de l'1, el 2, el 3 i el 4.
  • L'1 simbolitzava un punt, la mínima dimensió possible.
  • El 2 simbolitzava la longitud, ja que amb dos punts s'hi pot traçar una recta.
  • El 3 simbolitzava l'àrea, ja que amb tres punts es pot traçar un triangle.
  • El 4 simbolitzava el volum, ja que amb quatre punts es pot construir un tetraedre.

Suma de nombres triangulars[modifica | modifica el codi]

Demostracions visuals de sumes de nombres triangulars

Consecutius[modifica | modifica el codi]

Quan se sumen dos nombres triangulars consecutius sempre dóna un quadrat perfecte, en terminologia de Pitàgores, un nombre quadrat. Tenim:

T_n = \frac{n(n+1)}{2}

T_{n-1} = \frac{(n-1)(n-1+1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2}

Per tant, sumant-los:

T_n + T_{n-1} = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2}=n^2


Iguals[modifica | modifica el codi]

La suma de dos nombres triangulars iguals ens dóna una figura romboide. Vegem el seu terme general:


 T_n + T_n = 2T_n = 2 \,\frac {n(n+1)}{2} = n (n+1)


Test per comprovar si un nombre és triangular[modifica | modifica el codi]

Per comprovar si un nombre és triangular es pot realitzar la següent operació:

 n = \frac {\sqrt{8x+1}-1}{2}

Si n és un enter, aleshores x és l'n-èsim nombre triangular. Si n no és un enter, aleshores x no és triangular.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]



A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Nombre triangular Modifica l'enllaç a Wikidata