Nombres de Bernoulli

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
n  B_n
0  1
1  \pm\frac{1}{2}
2  \frac{1}{6}
3 0
4  -\frac{1}{30}
5 0
6  \frac{1}{42}
7 0
8  -\frac{1}{30}
9 0
10  \frac{5}{66}
11 0
12  -\frac{691}{2730}
13 0
14  \frac{7}{6}
15 0
16  -\frac{3617}{510}
17 0
18  \frac{43867}{798}
19 0
20  -\frac{174611}{330}

En matemàtiques, els Nombres de Bernoulli, denotats normalment per B_n (o bé b_n per diferenciar-los dels nombres de Bell), són una seqüència de nombres racionals amb connexions profundes amb la teoria de nombres. Els valors dels primers nombres de Bernoulli es mostren a la taula de la dreta.

Els nombres de Bernoulli apareixen a l'expansió en sèrie de Taylor de les funcions tangent i tangent hiperbòlica, en les fórmules per la suma de potències dels primers nombres naturals, a la fórmula d'Euler–Maclaurin i a l'expressió de certs valors de la funció zeta de Riemann.

Com que B_1 = \pm\frac{1}{2}, se li dona el nom de segon nombre de Bernoulli. Com que B_n=0 per a tot senar n>1, molts autors denoten aquesta sèrie amb B_{2n}.

Història[modifica | modifica el codi]

Els nombres de Bernoulli van ser descoberts independentment i en la mateixa època pels matemàtics Jakob Bernoulli (suís), del qui prenen el nom, i Takakazu Seki (japonès). El descobriment de Seki va ser publicat de forma pòstuma el 1712 en la seva obra Katsuyo Sampo.[1] El descobriment de Bernoulli, també publicat pòstumament el 1713, en la seva obra Ars Conjecturandi.[2] El descobriment de Bernoulli és una generalització de la fórmula de Faulhaber (1631) per a la suma de les primeres 17 potències dels nombres naturals:[3]

N =  \displaystyle\sum\limits_{i = 0}^{n} i^p = 1^p + 2^p + 3^p + ... + n^p

i el 1755, Euler va demostrar les fórmules de Bernoulli, donant el nom de nombres de Bernoulli als coeficients obtinguts.[4]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Shigeru, pàgina 431.
  2. Styan i Trenkler, pàgina 2.
  3. Knuth, pàgines 277-278.
  4. Edwards, pàgina 24.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]