Nombre de Mersenne

Un nombre de Mersenne és un nombre natural de la forma:

M_n = 2ⁿ − 1

essent n un nombre natural no nul. Reben el seu nom del filòsof i matemàtic francès Marin Mersenne.

Els primers nombres de Mersenne són:

M₁ = 2¹ − 1 = 1

M₂ = 2² − 1 = 3

M₃ = 2³ − 1 = 7

M₄ = 2⁴ − 1 = 15

M₅ = 2⁵ − 1 = 31

M₆ = 2⁶ − 1 = 63

M₇ = 2⁷ − 1 = 127

M₈ = 2⁸ − 1 = 255

Fixem-nos també que, a partir de la seva pròpia definició, els nombres de Mersenne en notació binària estan formats exclusivament per uns: 1 (1), 11 (3), 111 (7), 1111 (15), 11111 (31), etc.

Nombres de Mersenne primers

Article principal: Nombre primer de Mersenne

Els nombres de Mersenne primers són especialment importants en teoria de nombres; en particular, estan relacionats amb els nombres perfectes. No se sap si existeixen infinits nombres primers de Mersenne. El major nombre primer de Mersenne conegut a data de 22 de desembre de 2018 és 2^82589933.

Nombres de Mersenne compostos

Quan el valor de n és primer, el nombre de Mersenne M_n pot ser primer o compost:

M₇ = 127, primer

M₂₃ = 8388607 = 47·178481, compost

En canvi, quan n és compost, M_n sempre és compost.

Enllaços externs

• OEIS