Operador de d'Alembert

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En relativitat especial, electromagnetisme i teoria de les ones, l'operador de d'Alembert (\Delta), també anomenat d'alembertià, és l'operador de Laplace d'un espai de Minkowski i altres solucions de les equacions de camp d'Einstein. A l'espai de Minkowski en coordinades estàndards (t, x, y, z) té la forma

\Delta_{\mathbf{M}} = \partial^\mu \partial_\mu = \eta^{\nu\mu} \partial_\nu \partial_\mu = \pm(\partial_0^2 - \delta^{i j} \partial_i \partial_j = \partial_t^2 - \sum_{i=1}^3 \partial_i^2 = {\partial^2 \over \partial t^2} - \Delta_{\mathbf{R}^3})

on \Delta_{\mathbf{R}^3} = \nabla_{\mathbf{R}^3}^2 és el Laplacià tridimensional,  \eta^{00} = 1 ,  \eta^{0i} = 0 i \eta^{ij} = -\delta^{ij} per i,j = 1 a 3; η seria la mètrica de Minkowski, i δ la delta de Kronecker. Es fa notar que μ i ν van de 0 a 3 mentre i i j van de 1 a 3 (vegeu notació d'Einstein). El signe d'aquesta expressió depèn de la convenció de signes utilitzada per la mètrica de Minkowski.

La transformació de Lorentz deixa la mètrica invariant, així l'expressió de coordinades anterior resta vàlida per a les coordinades estàndards a cada finestra inercial.

Notacions alternatives[modifica | modifica el codi]

En física els símbols \Box i \Box^2 s'utilitzen habitualment per a l'operador de d'Alembert: els quatre costats del quadrat representen les quatre dimensions de l'espai-temps. De vegades s'utilitza \Box per representar la derivada covariant quatridimensional de Levi-Civita. El símbol \nabla s'utilitza per representar derivades de l'espai, però en aquest cas és dependent de l'atles. En aquest cas, els tres costats del triangle de la nabla representarien les tres dimensions de l'espai.

Una altra manera d'escriure l'operador de d'Alembert en coordinades planes estàndards és \partial^2. La notació \partial^2 és adequada per a la teoria quàntica de camps a la qual les derivades parcials són indexades habitualment: per tant la manca de un índex amb la derivada parcial quadràtica assenyala la presència de l'operador de d'Alembert.

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

L'equació de continuïtat per al quadricorrent J = (ρc, j)

\nabla_{\mathbf{R}^3} \cdot \mathbf{j} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}

es pot escriure

\Delta^{1/2} \cdot J = 0.

L'equació de Klein-Gordon es mostraria com

 (\Delta \pm m^2) \psi = 0 .

Una equació d'ona per al camp electromagnètic és

 \Delta \mathbf{A} = 0

on A és el potencial vectorial.