Operador de decalatge

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
No s'ha de confondre amb els operadors de desplaçament bit a bit en informàtica ni amb desplaçament en física.

En matemàtiques, i més concretament en anàlisi funcional, l'operador de decalatge és un operador que porta una funció f(·) a la seva translació f(· + a).[1] En l'anàlisi de sèries temporals, hom diu que l'operador de decalatge és l'operador de retard.

Els operadors de decalatge són uns exemples d'operadors lineals, importants per la seva simplicitat i la seva presència natural. L'acció de l'operador de decalatge sobre funcions de variable real juga un rol important en anàlisi harmònica; per exemple, apareix en les definicions de les funcions quasi-periòdiques, les funcions definides positives i la convolució.[2] Els decalatges sobre successions (funcions de variable entera) apareixen en àrees diverses, com ara els espais de Hardy, la teoria de varietats abelianes, o la teoria de dinàmica simbòlica, on l'aplicació del forner[3] n'és una representació explícita.

Definició[modifica | modifica el codi]

Funcions de variable real[modifica | modifica el codi]

L'operador de decalatge Tt (t ∈ ℝ) porta una funció f sobre ℝ a la seva translació ft,

 f_t(x) = f(x+t)~.

Una representació pràctica de l'operador lineal Tt en termes de la seva derivada ddx fou introduïda per Lagrange,

T^t= e^{t \frac{d}{dx}}~,

que es pot interpretar com la seva expansió en sèrie de Taylor al voltant de t, i que actua evidentment sobre el monomi xn pel teorema del binomi, i en conseqüència sobre tota la sèrie en x.[4]

Successions[modifica | modifica el codi]

L'operador decalatge cap a l'esquerra actua sobre una successió de nombres infinita per una banda com

 S^*: (a_1, a_2, a_3, \ldots) \mapsto (a_2, a_3, a_4, \ldots)

i sobre successions infinites per les dues bandes com

 T: (a_k)_{k=-\infty}^\infty \mapsto (a_{k+1})_{k=-\infty}^\infty.

L'operador decalatge cap a la dreta actua sobre una successió de nombres infinita per una banda com

 S: (a_1, a_2, a_3, \ldots) \mapsto (0, a_1, a_2, \ldots)

i sobre successions infinites per les dues bandes com

 T^{-1}:(a_k)_{k=-\infty}^\infty \mapsto (a_{k-1})_{k=-\infty}^\infty.

Grups abelians[modifica | modifica el codi]

En general, si f és una funció sobre un grup abelià G, i g és un element de G, l'operador de decalatge Tg envia f a

 f_g(h) = f(g+h).[5]

Propietats de l'operador de decalatge[modifica | modifica el codi]

L'operador de decalatge, quan actua sobre funcions reals o complexes, o sobre successions, és un operador lineal que preserva la majoria de les normes habituals que apareixen a l'anàlisi funcional. Per tant, normalment és un operador afitat amb la norma-1.

Acció sobre espais de Hilbert[modifica | modifica el codi]

L'operador de decalatge, quan actua sobre successions infinites per les dues bandes, és un operador unitari sobre l2(ℤ). L'operador de decalatge, quan actua sobre funcions de variable real és un operador unitari sobre L2(ℝ).

En ambdós casos, l'operador de decalatge (per l'esquerra) satisfà la següent relació de commutativitat amb la transformada de Fourier:

 \mathcal{F} T^t = M^t \mathcal{F},

on Mt és l'operador de multiplicació per exp(i t x). Per tant, l'espectre de Tt és la circumferència unitat.

L'operador de decalatge d'una sola banda S, quan actua sobre l2(ℕ), és una isometria pròpia amb recorregut igual a tots els vectors que tenen la primera coordenada igual a 0. L'operador S és una compressió de T−1, en el sentit que

T^{-1}y=Sx \text{ per tot } x \in \ell^2(\mathbb{N}),\,

on y és el vector de l2(ℤ) amb yi = xi per i ≥ 0 i yi = 0 per i < 0. Aquesta observació és la base de la construcció de moltes dilatacions unitàries d'isometries.

L'espectre de S és el disc unitat. L'operador de decalatge S és un exemple d'un operador de Fredholm, amb índex −1.

Generalització[modifica | modifica el codi]

Jean Delsarte introduí la noció d'operador de decalatge generalitzat (també anomenat operador de desplaçament generalitzat); aquesta noció fou desenvolupada posteriorment per Boris Levitan.[2][6][7]

Una família d'operadors {Lx}x ∈ X actuant sobre un espai Φ de funcions d'un conjunt X a s'anomena família d'operadors de decalatge generalitzats si es compleixen les següents propietats:

  1. Associativitat: sigui (Ryf)(x) = (Lxf)(y). Llavors LxRy = RyLx.
  2. Existeix un e ∈ X tal que Le és l'operador identitat.

En aquest cas, hom diu que el conjunt X és un hipergrup.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Weisstein, Eric W., "Shift Operator" a MathWorld (en anglès).
  2. 2,0 2,1 Marchenko, Vladimir A.. «Mathematical events of the twentieth century» (en anglès). The generalized shift, transformation operators, and inverse problems. Springer [Berlín], 2006, pàg. 145-162. DOI: 10.1007/3-540-29462-7_8.
  3. Alsedà, Lluís. «Sistemes dinàmics: les matemàtiques del professor W. Szlenk» (pdf). Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques, 12, 1, 1997, pàg. 7-16 [Consulta: 15 agost 2013].
  4. Jordan, Charles. Calculus of finite differences. 3a ed.. Nova York: Chelsea Publ. Co., 1979. ISBN 978-0828400336. 
  5. Hazewinkel], [managing editor M. «V.M.Millionshchikov». A: Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical Encyclopaedia". 10a ed.. Dordrecht: D. Reidel, 1987. ISBN 978-1-55608-010-4. 
  6. Hazewinkel], [managing editor M. «Generalized displacement operators (G.L.Litvinov)». A: Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical Encyclopaedia". 10a ed.. Dordrecht: D. Reidel, 1987. ISBN 978-1-55608-010-4.. 
  7. Hazewinkel], [managing editor M. «Almost-periodic function (E.A.Bredikhina)». A: Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical Encyclopaedia". 10a ed.. Dordrecht: D. Reidel, 1987. ISBN 978-1-55608-010-4.. 

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • Partington, Jonathan R. Operator theory, advances and applications an analytical approach to control theory. 1a ed. (en anglès). Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 2004. ISBN 0521546192. 
  • Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James. Hardy classes and operator theory. Unabridged, corr. republication. (en anglès). Mineola, N.Y.: Dover Publications, 1997. ISBN 9780486695365. 

Vegeu també[modifica | modifica el codi]