Operador diferencial

De Viquipèdia
(S'ha redirigit des de: Operador diferencial lineal)
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, un operador diferencial és un operador lineal definit com una funció de l'operador de diferenciació. Ajuda, com una qüestió de notació, considerar la diferenciació com una operació abstracta, que accepta una funció i en torna una altra (a l'estil d'una funció d'ordre superior de les ciències de la computació).

Cas amb una variable[modifica | modifica el codi]

L'ús més comú de l'operador diferencial és l'acció de prendre la derivada en si mateixa. Les notacions comuns d'aquest operador inclouen:


{d\over dx},\quad D_x,\quad D\,

Les dues primeres es fan servir fonamentalment quan es vol fer explícitca la variable respecte a la qual es prenen les derivades ordinàries, l'última forma només es fa servir quan pel context és clar quina és la variable respecte a la que es deriva (sense necessitat d'explicitar ). Les primeres derivades es prenen com a dalt però, per a les derivades d'ordre superior, les n -èsimes, són útils els següents canvis:


{d^n\over dx^n},\quad D^n_x,\quad D^n\,

Operadors lineals ordinaris[modifica | modifica el codi]

  • L'ús i la creació de la notació D es deu a Oliver Heaviside, que considerava els operadors diferencials lineal és ordinaris de la forma:


\mathcal{L}=\sum_{k = 0}^n alpha (x) D^k (\cdot)

en el seu estudi de les equacions diferencials.

Propietats dels operadors diferencials[modifica | modifica el codi]

  • La diferenciació és lineal, ie


D (f+g) = (Df)+(Dg),\qquad D (af) = a (Df)

on f i g són funcions i a és una constant.
  • Qualsevol polinomi en D amb funcions com coeficients és també un operador diferencial. També es poden compondre operadors diferencials amb la regla


D_1\circ D_2 (f) = D_1 (D_2 (f))

  • Aquesta última propietat dota al conjunt dels operadors lineals, sobre un cert espai de funcions reals, d'estructura d'espai vectorial sobre \R i de mòdul esquerre sobre el mateix conjunt de funcions. Això últim implica a la vegada que el conjunt d'operadors constitueixen un àlgebra associativa.
  • Es requereix una mica de cura: primer, qualsevol coeficients de funció en l'operador D 2 han de ser diferenciable s tantes vegades com requereixi l'aplicació de D 1 . Per obtenir un anell d'aquests operadors s'ha de suposar que s'utilitzen derivades de tots els ordres. Segon, aquest anell no ha de ser commutatiu: un operador gD no és el mateix en general que Dg. De fet es té per exemple la relació bàsica en mecànica quàntica: Dx - xD = 1.
  • El subanell d'operadors que són polinomis en D amb coeficients constants és, en contrast, commutatiu. Pot ser caracteritzat d'una altra manera: consisteix en els operadors de translació invariants.

Operador invers[modifica | modifica el codi]

Donat un operador diferencial lineal sobre un espai de funcions reals d'una sola variable real amb condicions de contorn homogènia, en el qual totes les funcions que intervenen són contínues, existeix un operador invers que és un operador integral.

Aquest operador invers vénen donat per la funció de Green. Explicitémoslo considerant una equació diferencial d'ordre n :


\begin{cases}\mathcal{L}\{y (x)\}= f (x) & i (x)\in\mathcal{D}\\
\mathcal{D}=\{z\in C^1 (\R)|\sum_{j = 0}^n a_{ij}D^j (z) = b_i\}& i\in\{0,\dots, n\}
\end{cases}

En aquest cas hi ha un operador integral \mathcal{K} donat per:


y (x) =\mathcal{K}\{f (x)\}=\int_{-\infty}^{+\infty}G (\bar{x}, x) f (x) d\bar{x}

Tal que es compleix:


\mathcal{K\circ L}\{z\}=\mathcal{L\circ K}\{z\}= z (x),\quad\forall z\in\mathcal{D}

Cas amb diverses variables[modifica | modifica el codi]

Anàlogament al cas d'una variable, quan es consideren derivades respecte a variables diferents les derivades parcials poden escriure com:


{\part\over\part x_i}=\part_{x_i}=\part_i,
\qquad{\part^n\over\part x_{I_1}\dots\part x_{I_n}}=\part^n_{x_{I_1},\dots, x_{I_n}}=
\part^n_{I_1,\dots, I_n}

A més amb derivades parcials, es poden fer les mateixes construccions que en el cas d'una variable. La derivació pel que fa a variables diferents dóna com a lloc a operadors que commuten (veure teorema de Clairaut).

Un operador lineal en derivades parcials d'ordre n té la forma:


\mathcal{L}=\sum_{k = 0}^n a_{I_1\dots i_k}(x)\part_{I_1\dots i_k}^k (\cdot)

Un dels operadors diferencials que es veu amb més freqüència és l'operador laplacià


\Delta =\sum_{k = 1}^n{\partial^2\over\partial x_k^2}

Descripció independent de les coordenades[modifica | modifica el codi]

A la geometria diferencial i la geometria algebraica és sovint convenient tenir una descripció independent de les coordenada s dels operadors diferencials entre dues grups vectorials. Siguin E i F dos grups de vectors sobre una varietat M. Un operador és un mapeig de seccions, P:\Gamma (E)\rightarrow\Gamma (F)\,\! que es mapa el tija o fibra d'un fibrat dels gèrmens de \Gamma (E)\,\! al punt x\in M\,\! a la fibra de F en x:


P:\Gamma_x (E)\rightarrow F_x\,\!.

Es diu que un operador P és un operador diferencial d'ordre k-èsim si els factors a través del raig del fibrat J^k (E)\,\!. En altres paraules, hi ha un mapeig lineal de conglomerats vectorials


i_P: J^k (E)\rightarrow F\,\!

tal que P = i_P\circ j^k com en la següent composició:


P:\Gamma_x (E)\rightarrow J^k (E) _x\rightarrow F_x\,\!.

Exemples[modifica | modifica el codi]