Oscil·lador de van der Pol

Plànol de fases d'un oscil·lador de van der Pol no forçat.

Evolució del cicle límit en el pla de fases.

En sistemes dinàmics, L ' oscil·lador de van der Pol és un oscil·lador amb esmorteïment no lineal. La seva evolució temporal obeeix a una equació diferencial de segon ordre:

${D^2x \over dt^2}- \mu (1-x^2){dx \over dt}+x = 0$

en què x és la posició, funció del temps t , i μ és un paràmetre escalar que governa la no linelidad i l'amortiment.

Història

L'oscil·lador de van der Pol va ser descrit per l'enginyer i físic Balthasar van der Pol mentre treballava a la casa Philips. Van der Pol va trobar oscil·lacions estables, que va anomenar oscil·lacions de relaxació, conegudes en l'actualitat com cicles límit, en circuits que usaven vàlvules de buit. Quan aquests circuits es fan funcionar a prop del cicle límit entren en acoblament i el senyal entra en fase amb el corrent. Van der Pol i la seva col·lega, van der Mark, van informar en el nombre de setembre de 1927 de Nature que per a determinades freqüències apareixia un soroll irregular, sempre prop de les freqüències d'acoblament. Va ser un dels primers descobriments experimentals de la Teoria del caos.

L'equació de van der Pol té una llarga història en física i biologia. Per exemple, en biologia, Fitzhugh i Nagumo aplicar l'equació a un camp bidimensional en el model de Fitzhugh-Nagumo per descriure el potencial d'acció de les neurona s. També s'ha usat en sismologia per a modelar el comportament de dues plaques en una falla.

Forma bidimensional

El teorema de Liénard prova que el sistema té un cicle límit. Aplicant la transformació de Liénard $i = x - x^3/3 - \dot x/\mu$, on el '.' indica derivada, l'equació es pot escriure en forma bidimensional:

$\dot x = \mu \left (x-\frac{1}{3}x^3-i \right)$

$\dot i = \frac{1}{\mu}x.$

Resultats del oscil·lador no forçat

Oscil·lador de van der Pol sense excitació externa. El paràmetre d'amortiment no lineal és μ = 5.

Hi ha dos règims de funcionament interessants per al oscil·lador no forçat:

• Quan μ = 0, no hi ha esmorteïment, i l'equació queda:

${D^2x \over dt^2}+x = 0.$

És la fórmula de l'oscil·lador harmònic simple sense pèrdua d'energia.

• Quan μ > 0, el sistema arribarà a un cicle límit, en el qual es conservarà l'energia. A prop de l'origen x = dx / dt = 0 el sistema és inestable, i lluny de l'origen hi ha amortiment.

L'oscil·lador de van der Pol forçat

Comportament caòtic en l'oscil·lador de van der Pol amb excitació sinusoïdal. μ = 8.53, mentre que l'excitació externa té amplitud A = 1.2 i freqüència angular ω = 2π/10.

Utilitzant una font d'excitació sinusoïdal A sense ( ωt ) l'equació diferencial queda:

${D^2x \over dt^2}- \mu (1-x^2){dx \over dt}+xA \sin (\omega t) = 0,$

en què A és l'amplitud de la equació d'ona i ω seu velocitat angular.

Enllaços ecternos

• Oscil·lador de van der Pol oscillator en Scholarpedia
• Oscil·lador de Van Der Pol oscillator interactiu
• There 's No Quiet Without Noise, New York Times