Oscil·lador harmònic quàntic

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El oscil·lador harmònic quàntic és l'anàleg quàntic de l'oscil·lador harmònic clàssic. És un dels sistemes més importants en mecànica quàntica, ja que qualsevol potencial es pot aproximar de forma puntual per un potencial harmònic en les proximitats d'un punt d'equilibri estable (mínim relatiu). A més, és un dels pocs sistemes quàntics que admet una solució analítica relativament senzilla.

Oscil·lador harmònic unidimensional[modifica | modifica el codi]

Potencial[modifica | modifica el codi]

Funcions d'ona per als vuit primers autoestats,  n = 0 \ldots 7. L'eix horitzontal mostra la posició i en unitats (h/2πmω) 1/2 . Les funcions es mostren sense normalitzar.
Densitats de probabilitat dels primers autoestats en funció a la posició.

Quan sobre una partícula de massa  \displaystyle m hi actua una força recuperadora de l'estil  \displaystyle F=-kx , on  k s'anomena constant elàstica, aquesta partícula quedarà sotmesa a un potencial  \displaystyle V(x) = -\int \! F(x)\,dx = \frac{1}{2}kx^2. L'equació de moviment d'aquesta partícula és llavors


\displaystyle m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx ,

que té per solució  \displaystyle x(t) = A\cos{\omega t} on s'ha pres  \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} . Així doncs es pot reescriure el potencial com  V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2x^2 .[1]

Hamiltonià[modifica | modifica el codi]

L'hamiltonià quàntic de la partícula és:


 \hat H = \frac{\hat p^2}{2m}+\frac{1}{2}m \omega^2 x^2

on  x \, és el operador posició i  \hat p \, és l'operador moment  \left (\hat p =-i \hbar{d \over dx}\right) . El primer terme correspon a l'energia cinètica de la partícula, mentre que el segon correspon a la seva energia potencial. Per tal d'obtenir els estats estacionaris (és a dir, els autoestats i els autovalors del hamiltonià o valors dels nivells d'energia permesos), s'ha de resoldre l'equació de Schrödinger independent del temps


 \hat H \left|\psi \right \rangle = I \left|\psi \right \rangle .

Autoestats i autovalors[modifica | modifica el codi]

Es pot resoldre l'equació diferencial desenvolupant la solució en sèrie de potències. S'obté així que els autoestats venen donats per


 \psi_n(x) = \sqrt{\frac{1}{2^n \, n !}}\cdot \left (\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4}\cdot \exp
 \left (- \frac{m \omega x^2}{2 \hbar}\right) \cdot H_n \left (\sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}x \right)



n = 0, 1, 2, \ldots

on  n \, representa el nombre quàntic vibracional i  H_n(x) representen els polinomis d'Hermite:


 H_n (x) = (-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}i^{-x^2}

Els nivells d'energia permesos (els autovalors associats als autoestats  \psi_n(x) ) són


 E_n = \hbar \omega \left (n+{1 \over 2}\right) \qquad n = 0, 1, 2, \ldots .

Aquest espectre d'energia destaca per tres raons. La primera és que les energies estan quantitzades i només poden prendre valors discrets, en fraccions semienteres 1/2, 3/2, 5/2, ... de  \hbar \omega . Aquest resultat és característic dels sistemes quàntics. A la següent secció sobre els operadors escala es farà un detallat anàlisi d'aquest fenomen. La segona és que l'energia més baixa no coincideix amb el mínim del potencial (zero en aquest cas). Així, l'energia més baixa possible és  \hbar \omega/2 , i es denomina "energia de l'estat fonamental" o energia del punt zero. L'última raó és que els nivells d'energia estan equiespaiats, al contrari que en el model de Bohr o la partícula en una caixa.

Convé destacar que la densitat de probabilitat de l'estat fonamental es concentra en l'origen. És a dir, la partícula passa més temps en el mínim del potencial, com seria d'esperar en un estat de poca energia. A mesura que l'energia augmenta, la densitat de probabilitat es concentra en els "punts de retorn clàssics", on l'energia dels estats coincideix amb l'energia potencial. Aquest resultat és consistent amb el de l'oscil·lador harmònic clàssic, per al qual la partícula passa més temps (i per tant és on és més probable trobar-la) en els punts de retorn. Es satisfà així el principi de correspondència.

Aplicació: molècules diatòmiques[modifica | modifica el codi]

Article principal: molècula diatòmica

Per estudiar el moviment de vibració dels nuclis es pot utilitzar, en una primera aproximació, el model de l'oscil·lador harmònic. Si considerem petites vibracions al voltant del punt d'equilibri, podem desenvolupar el potencial electrònic en sèrie de potències. Així, en el cas de petites oscil·lacions el terme que domina és el quadràtic, és a dir, un potencial de tipus harmònic. Per tant, en molècules diatòmiques, la freqüència fonamental de vibració vindrà donada per: [1]

 \Nu = \frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{k}{\mu}}

que es relaciona amb la freqüència angular mitjançant  \omega = 2 \pi \nu \, i depèn de la massa reduïda  \mu \, de la molècula diatòmica.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Mandl 1992, pp. 64-65.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • Mandl, Franz. Quantum Mechanics. West Sussex: John Wiley & Sons, 1992. 0 471 93155 1.