Paral·lelisme (geometria)

Línies paral·leles.

En geometria, Paral·lelisme és una relació que s'estableix entre rectes o plans.

Així, dos rectes, contingudes en un pla, són paral·leles si bé són una i la mateixa recta o per contra no comparteixen cap punt.

De manera semblant, en l'espai, dos plans són paral·lels si bé són un i el mateix pla o bé no comparteixen cap punt.

Notació

$a\parallel b$ (recta paral·lela ab)

Axioma d'unicitat

L'axioma que distingeix a la geometria euclidiana d'altres geometries és el següent: En un pla, per un punt exterior a una recta passa una i només una paral·lela a aquesta recta.

Propietats

• Reflexiva: Tota recta és paral·lela a si mateixa:

a || a

• Simètrica: Si una recta és paral·lela a una altra, aquella és paral·lela a la primera:

Si a || b $\Rightarrow$ b || a

Aquestes dues propietats es dedueixen de la intersecció de conjunts i no depenen de l'axioma d'unicitat.

• Transit: Si una recta és paral·lela a una altra, i aquesta al seu torn paral • lela a una tercera, la primera és paral·lela a la tercera:

Si a || b $\wedge$ b || c $\Rightarrow$ a || c

Teoremes

• En un pla, dues rectes perpendiculars a una tercera són paral·leles entre si.

• Si una recta talla a una altra recta, llavors talla a totes les parel·leles d'aquesta (en un pla).

Les demostracions d'aquests dos teoremes i la tercera propietat, fan servir l'axioma d'unicitat.