Partició (matemàtiques)

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Partició d'un disc en 6 parts.

En matemàtiques, una partició d'un conjunt és una subdivisió en diversos subconjunts no buits, de forma cada element del conjunt pertany a un, i només un, dels subconjunts. Més formalment, donat un conjunt A, una partició de A és un conjunt {Ai| iI} de parts de A tal que

  1. Els Ai són no buits.
  2.  \cup_{i \in I} A_i = A .
  3. Si A_i \cap A_j \neq \emptyset aleshores A_i = A_j.

Exemples[modifica | modifica el codi]

  • Tot conjunt d'un element {x} té exactament una partició: { {x} }.
  • Per a qualsevol conjunt no buit X, P = {X} és una partició de X.
  • El conjunt {1, 2, 3} té aquestes 5 particions:
    • { {1},{2},{3} }
    • { {1,2},{3} }
    • { {1,3},{2} }
    • { {1},{2,3} }
    • { {1,2,3} }
  • Observeu que
    • { {},{1,3},{2} }, no és una partició (ja que conté el conjunt buit).

El nombre de particions d'un conjunt finit[modifica | modifica el codi]

Tot conjunt finit té un nombre finit de particions possibles. Aquestes particions es poden determinar mitjançant combinatòria.

Per exemple, donat el conjunt {1,2,3,4}, aquestes són totes les particions possibles:
1 subconjunt: {1,2,3,4}
2 subconjunts: {1}{2,3,4}; {2}{1,3,4}; {3}{1,2,4}; {4}{1,2,3}; {1,2}{3,4}; {1,3}{2,4}; {1,4}{2,3}
3 subconjunts: {1,2}{3}{4}; {1,3}{2}{4}; {1,4}{2}{3}; {2,3}{1}{4}; {2,4}{1}{3}; {3,4}{1}{2}
4 subconjunts: {1}{2}{3}{4}

El nombre de Bell Bn, anomenat així en honor a Eric Temple Bell, és el nombre de particions diferents d'un conjunt finit de n elements. Els primers nombres de Bell són:[1]

B0 = 1, B1 = 1, B2 = 2, B3 = 5, B4 = 15, B5 = 52, B6 = 203

Els nombres de Bell satisfan la següent relació recursiva:  B_{n+1}= \sum_{k = 0}^n{n \choose k}B_k .

Referències[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Partició (matemàtiques) Modifica l'enllaç a Wikidata
  1. OEIS: successió A000110

Vegeu també[modifica | modifica el codi]