Pla

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Per a altres significats vegeu «Pla (desambiguació)».
Representació isomètrica de la intersecció de dos plans perpendiculars a l'espai tridimensional.

En matemàtiques un pla és una superfície imaginària de dues dimensions, infinita i sense curvatura. És un dels elements bàsics de la geometria. Juntament amb el punt i la recta és un dels tres conceptes fonamentals de la geometria clàssica. Els plans són infinits i es poden definir mitjançant:

  • Tres punts no alineats.
  • Una recta i un punt que no pertany a aquesta recta.
  • Dues rectes que s'intersecten.
  • Dues rectes paral·leles.

Els plans se solen anomenar amb lletres de l'alfabet grec.

Equacions del pla[modifica | modifica el codi]

Per a determinar un pla matemàticament sempre són necessaris dos vectors (linealment independents) i un punt: Punt P = (x0, y0, z0)
Vector u = (a1, b1, c1)
Vector v = (a2, b2, c2)

Per a expressar el pla definit per aquests elements hi ha diverses formes:

  1. Equació vectorial
  2. Equacions paramètriques
  3. Equació general
  4. Equació canònica

Equació vectorial[modifica | modifica el codi]

L'equació vectorial del pla és la més simple i directa i té la forma:

(x,y,z)= (x_0, y_0 ,z_0)+ m(a_1, b_1 ,c_1) + n(a_2, b_2 ,c_2) \,\!

Equacions paramètriques[modifica | modifica el codi]

Les equacions paramètriques són el resultat de separar l'equació vectorial, deixant els tres components (x,y,z) aïllats amb els seus components del punt i dels vectors.

\begin{cases} x = x_0 + ma_1 + na_2 \\ y = y_0 + mb_1 + nb_2 \\ z = z_0 + mc_1 + nc_2\end{cases}

Equació general o cartesiana[modifica | modifica el codi]

És la forma més usada per a expressar un pla, ja que resulta més simple d'usar per a resoldre sistemes de plans i rectes posteriorment. Aquesta és el resultat d'igualar a zero el determinant compost pel punt X = (x, y, z) i dos dels vectors del pla:

\begin{vmatrix}(\mathbf{X}-\mathbf{P})\\ \mathbf{u} \\ \mathbf{v}\end{vmatrix}=0 \rightarrow \begin{vmatrix}x-x_0 & y-y_0 & z-z_0\\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2\end{vmatrix}=0 \rightarrow A x +B y +C z + D =0

o també disposant els elements de la següent forma:

\begin{vmatrix}(\mathbf{X}-\mathbf{P}) & \mathbf{u} & \mathbf{v}\end{vmatrix}=0 \rightarrow \begin{vmatrix}x-x_0 & m_x & n_x \\ y-y_0 & m_y & n_y \\ z-z_0 & m_z & n_z\end{vmatrix}=0 \rightarrow A x +B y +C z + D =0

Equació canònica o segmentària[modifica | modifica el codi]

L'equació segmentària del pla es forma a partir de la cartesiana. És el resultat de passar el terme independent D a l'altra banda de la igualtat i dividir tots els termes per -D (deixant el terme independent igualat a 1), per posteriorment, passar els termes A, B i C a dividir el -D a sota de la fracció. Així, la forma final de l'equació, és:

\frac{x}{\frac{-D}{A}} + \frac{y}{\frac{-D}{B}} + \frac{z}{\frac{-D}{C}} = 1

Posició relativa de 2 plans[modifica | modifica el codi]

Dos plans en l'espai poden tenir tres posicions relatives. Poden ser coincidents, paral·lels o secants.

Representació de dos plans, amb una posició relativa secant, determinant una recta al tallar-se.

Plans coincidents[modifica | modifica el codi]

Dos plans són coincidents quan ambdós plans tenen els seus vectors normals de mateixa direcció i tenen el mateix punt P, de manera que en el pla general:

\frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}=\frac{D}{D'}

Plans paral·lels[modifica | modifica el codi]

Dos plans són paral·lels quan ambdós plans tenen els seus vectors normals de mateixa direcció però tenen un punt P diferent, de manera que en el pla general:

\frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}\; \ne\frac{D}{D'}

Plans secants[modifica | modifica el codi]

Dos plans són secants quan ambdós plans tenen els seus vectors normals de diferent direcció, de manera que en el pla general:

\frac{A}{A'}\; \ne\frac{B}{B'}

Els plans secants al tallar-se determinen una recta.

Vector associat a un pla[modifica | modifica el codi]

El vector w compost pels components (A, B i C) és un vector perpendicular al pla d'equació A x +B y +C z + D =0. Aquest vector s'anomena vector associat o normal del pla i s'usa molt sovint per a la resolució de distàncies i angles entre elements geomètrics.
L'equació general d'un pla queda doncs determinada per un vector w associat i per un punt M, ja que el vector associat determina els coeficients A, B i C de l'equació i les coordenades del punt permeten trobar el valor del terme independent D, mitjançant una simple substitució. Amb el vector associat es pot trobar l'equació d'un pla perpendicular a una recta i tabmé l'equació d'una recta perpendicular amb un pla.
A més a més el vector associat a un pla és un vector orientador del pla perpendicular.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Matemàtiques 2. McGraw-Hill, 2009. ISBN 978-84-481-7025-7. 
  2. Weisstein, Eric W. "Plane" de Mathworld