Un políedre compost és un políedre que ell mateix està composat per uns quants altres políedres que comparteixen un centre comú. Són els anàlegs tridimensionals dels polígons estelats com l'hexagram. Els vèrtexs veïns d'un compost es poden connectar per formar un políedre convex anomenat l'embolcall convex. El compost és un facetejament de l'embolcall convex. Un altre poliedre convex es forma pel petit espai central comú a tots els membres del compost. Aquest poliedre es pot considerar el nucli per a un conjunt de estelacions incloent-hi el propi compost. (Vegeu Llista de models de políedre de Wenninger per a aquests compostos i altres estelacions.)
Compostos regulars [modifica]
Un políedre compost regular es pot definir com un compost que, com un políedre regular, els seus vèrtex, cares i arestes són homogenis. Amb aquesta definició hi ha 5 composts regulars.
El més conegut és el compost de dos tetràedres, sovint anomenat l'estrella octangula, un nom donat per Kepler. Els vèrtexs dels dos tetràedres defineixen un cub i la intersecció del dos un octàedre, que comparteix els mateixos plans de les cares que els compost. Així és una estelació de l'octàedre, i de fet l'única estelació finita seva. L'estrella octangula també es pot considerar com a compost dual regular. El compost de cinc tetràedres té dues versions enantiomòfiques, que juntes constitueixen el compost per 10 tetràedres. Cada un dels composts tetraèdrics és autodual, i el compost de 5 cubs és dual al compost de 5 octàedres.
Compostos dual-regular [modifica]
Un compost dual-regular es compon d'un políedre regular (un dels sòlids Platònics o políedre de Kepler-Poinsot) i el seu dual regular, arranjat recíprocament sobre una interesfera comuna, tal que l'aresta d'un poliedre interseca el l'aresta dual del políedre dual. N'hi ha cinc d'aquests compostos.
El compost dual-regular d'un tetràedre amb el seu políedre dual és també l'estrella octangula regular, ja que el tetràedre és autodual. Els compostos cub-octàedre i dodecàedre-icosàedre són les primeres estelacions del cuboctàhedre i l'icosidodecàedre, respectivament. El compost de petit dodecàedre estelat i gran dodecàedre exteriorment sembla el mateix que el petit dodecàedre estelat, perquè el gran dodecàedre queda completament contingut dins.
Composts uniformes [modifica]
El 1976 John Skilling va publicar Compostos Uniformes de Políedres Uniformes que enumeraven 75 compostos (incloent-hi 6 conjunts infinits de prismes compostos, #20-#25) fets de políedres uniformes amb simetria rotacional. (Tots els vèrtexs són homogenis.) Aquesta llista inclou els cinc composts regulars de dalt. [1] Aquí és presenta una taula amb les figures dels 75 compostos uniformes llistats per Skilling. Molts estan pintats amb un color diferent per cada políedre component. Alguns com els parells quirals estan pintats per la simetria de les cares dins de cada políedre.
- 1-19: Diversos (els 4,5,6,9,17 són els 5 composts regulars)
- 46-67: Simetria tetraèdrica encaixada en la simetria de l'octàedre o l'icosàedre,
- ↑ [enllaç sense format] http://www.interocitors.com/polyhedra/UCs/UniformCompounds.html
- John Skilling, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Vol. 79, pp. 447-457, 1976.
- Peter R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge, 1997.
- Magnus Wenninger Dual Models Cambridge, England, Cambridge University Press, 1983. (51-53)
- Michael G. Harman, Polyhedral Compounds, unpublished manuscript, circa 1974
- Edmund Hess 1876 "Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder", Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg 11 (1876) pp 5-97.
- Luca Pacioli, De Divina Proportione, 1509
Enllaços externs [modifica]
