Polinomi característic

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En l'àlgebra lineal, s'associa un polinomi a cada matriu quadrada anomenat polinomi característic. Aquest polinomi conté una gran quantitat d'informació sobre la matriu, els més significatius són els valors propis, el seu determinant i la seva traça.

Motivació[modifica | modifica el codi]

Donada una matriu quadrada A, volem trobar un polinomi tal que les seves arrels siguin precisament els valors propis de A. Per a una matriu diagonal A, el polinomi característic és fàcil de definir: si els elements de la diagonal són xi per a tota i\in \{ 1 , \dots , n \} , el polinomi característic en la indeterminada t és

(t-x_1) (t-x_2) (t-x_3) \cdots (t-x_N) \,\!

El polinomi té aquesta forma, ja que els elements de la diagonal d'una matriu diagonal coincideixen amb els seus valors propis.

Per a una matriu A genèrica, es pot procedir de la següent forma: Si λ és un valor propi de A, aleshores existeix un vector propi v0 tal que

A v = \lambda v \,\!

és a dir,

(A - \lambda I)v = 0 \,\!

on I és la matriu identitat. Com que v és no nul, la matriu λI − A és singular, la qual cosa implica que el seu determinant és 0. Acabem de veure que les arrels de la funció det(A − tI) són els valors propis de A. Com que aquesta funció és un polinomi en t, ja hem trobat el polinomi que cercàvem.

Definició formal[modifica | modifica el codi]

Sigui K un cos i A una matriu quadrada n-dimensional sobre K. El polinomi característic de A, denotat per pA, és el polinomi definit per

p_A(t)=\det(A-tI)\,\!

on I denota la matriu identitat n×n. Alguns autors defineixen el polinomi característic com det(tI − A). La diferència és intranscendent, ja que els dos polinomis únicament es diferencien en el seu signe.

Exemples[modifica | modifica el codi]

Suposem que volem trobar el polinomi característic de la matriu

A=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
-1& 0
\end{pmatrix}.

Hem de calcular el determinant de

A - t I = \begin{pmatrix}
2-t&1\\
-1&-t
\end{pmatrix}

aquest determinant és

(2-t)(-t) - 1(-1) = t^2-2t+1.\,\!

Finalment hem obtingut el polinomi característic d'A.

Propietats[modifica | modifica el codi]

El polinomi pA és mònic (el seu coeficient líder és 1) i de grau n. El fet més important sobre el polinomi característic ja fou anomenat en el paràgraf de motivació: els valors propis de A són precisament les arrels de pA. El terme independent pA(0) és igual a (−1)ndet(A), i el coeficient del terme de grau n − 1 és igual a −tr(A), la traça de A. Per a una matriu A de mida 2×2, el polinomi característic es pot expressar com: pA(t) = t2 − tr(A)t + det(A).

Tots els polinomis reals de grau senar tenen almenys un nombre real com a arrel, de manera que per a tot n senar, tota matriu real té almenys un valor propi real. La majoria dels polinomis reals de grau parell no tenen arrels reals, però el teorema fonamental de l'àlgebra diu que tot polinomi de grau nn arrels complexes, comptades amb les seves multiplicitats. Les arrels no reals de polinomis reals, per tant valors propis no reals, apareixen en parelles conjugades.

El teorema de Cayley-Hamilton diu que si substituïm t per A en l'expressió de pA(t) obtenim la matriu nul·la: pA(A) = 0. És a dir, tota matriu satisfà el seu propi característic. Com a conseqüència d'aquest fet, el polinomi mínim de A per definició divideix el polinomi característic de A.

Dues matrius semblants tenen el mateix polinomi característic. El recíproc no és cert en general: dues matrius amb el mateix polinomi característic no són necessàriament semblants.

La matriu A i la seva transposada tenen el mateix polinomi característic. A és semblant a una matriu triangular si i només si el seu polinomi característic pot ser completament factoritzat en factors lineals sobre K. De fet, A és fins i tot semblant a una matriu en forma canònica de Jordan.