Polinomis d'Hermite

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Els polinomis d'Hermite són un exemple de polinomis ortogonals que troben el seu principal àmbit d'aplicacions en mecànica quàntica, sobretot en l'estudi del oscil·lador harmònic unidimensional. Són nomenats així en honor de Charles Hermite.

Els cinc primers polinomis d'Hermite (probabilístics').

Definició[modifica | modifica el codi]

Els polinomis d'Hermite es defineixen com:


 H_n (x) = (-1)^ne^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}\, \!

(Els "polinomis d'Hermite probabilístics" ) o, de vegades, com (els "polinomis d'Hermite físics" ):


 H_n^\mathrm{Phys}(x) = (-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\, \!

Aquestes dues definicions no són exactament equivalents, una és un reescalat trivial de l'altra:


 H_n^\mathrm{Phys}(x) = 2^{n/2}H_n^\mathrm{prob}(\sqrt{2}\, x) \, \! .

Els polinomis físics poden expressar-se com:


 H_n^\mathrm{Phys}(x) = (2x)^n - \frac{n (n-1)}{1 !}(2x)^{n-2}
+\frac{n (n-1) (n-2) (n-3)}{2 !}(2x)^{n-4}- \dots

Propietats[modifica | modifica el codi]

Ortogonalitat[modifica | modifica el codi]

 \displaystyle{H_n} és un polinomi de grau n , amb n = 0, 1, 2, 3, .... Aquests polinomis són ortogonals respecte de la funció pes (mesura)


 e^{-x^2/2}\, \! (probabilista)

o


 e^{-x^2}\, \! (física)

és a dir

\int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2/2}\,dx

=n!\sqrt{2\pi}~\delta_{\mathit{nm}} (probabilista)

o


\int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2}\,dx={n!2^n}{\sqrt{\pi}}~\delta_{\mathit{nm}} (física)

on δ ij és la delta de Kronecker, que val la unitat quan n = m i zero en un altre cas. Els polinomis probabilístics són ortogonals respecte a la funció de densitat de probabilitat normal.

Funció generadora[modifica | modifica el codi]


 e^{2tx-t^2}= \sum_{n = 0}^\infty \frac{H_n^\mathrm{Phys}(x) t^n}{n !}

Fórmules de recurrència[modifica | modifica el codi]

Els polinomis d'Hermite (en la seva forma "física") satisfan les següents relacions de recurrència:


 h_{n+1}^\mathrm{Phys}(x) = 2xH_{n}^\mathrm{Phys}(x)-2nH_{n-1}^\mathrm{Phys}(x)


{H '}_{n}^\mathrm{Phys}(x) = 2nH_{n-1}^\mathrm{Phys}(x)

Descomposició en sèrie de funcions[modifica | modifica el codi]

Tota funció f contínua pot expressar-se com sèrie infinita en termes de polinomis d'Hermite:


 f (x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n H_n (x) = A_0H_0 (x)+A_1H_1 (x)+A_2H_2 (x)+\ldots

On les constants de l'anterior sèrie vienene donats per:


A_k = \frac{1}{2^kk!\sqrt{\pi}}
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}f(x)H_k(x)\ dx

Altres resultats[modifica | modifica el codi]

 H_n (-x) = (-1)^nH_n (x) \,
 H_{2n-1}(0) = 0 \,
 H_{2n}^\mathrm{Phys}(0) = (-1)^n2^n (1 \cdot3 \cdot5 \cdot \dots \cdot (2n-1))

Equació diferencial d'Hermite[modifica | modifica el codi]

Els polinomis d'Hermite són solucions de l'equació diferencial d'Hermite: [1]


 \frac{d^2y}{dx^2}-2x \frac{dy}{dx}+2ny = 0

que en forma canònica es pot escriure com:


 \frac{1}{y^{-x^2}}\frac{d}{dx} \left (y^{-x^2}\frac{dy}{dx}\right)+2ny = 0

Referència[modifica | modifica el codi]

  1. Spiegel & Abellanas, 1992, p.158.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo. McGraw-Hill. Fórmules i taules de matemàtica aplicada, 1992. ISBN 84-7615-197-7.