Polinomis de Bernoulli

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, els polinomis de Bernoulli  b_n (x) es defineixen mitjançant la funció generatriu:

 \frac{et^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n = 0}^\infty b_n (x) \frac{t^n}{n !}

Apareixen en l'estudi de nombroses funcions especials, en particular de l'funció zeta de Riemann i de la funció zeta de Hurwitz. Els nombres de Bernoulli  b_n són els termes independents dels polinomis corresponents, ii,  b_n = b_n (0) .

La identitat  B_{k+1}(x+1)-B_{k+1}(x) = (k+1) x^k \, ens permet donar una forma tancada de la suma

 \sum_{i = 1}^n{i^k}= 1^k+2^k+\cdots+n^k = \frac{B_{k+1}(n+1)-B_{k+1}(0)}{k+1}

Expressió explícita de polinomis de menor grau[modifica | modifica el codi]

 B_0 (x) = 1 \,
 b_1 (x) = x-1/2 \,
 B_2 (x) = x^2-x+1/6 \,
 B_3 (x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x \,
 B_4 (x) = x^4-2x^3+x^2 - \frac{1}{30}\,
 B_5 (x) = x^5 - \frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3 - \frac{1}{6}x \,
 B_6 (x) = x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4 - \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}\, .

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  • Zwillinger, D. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae , CRC Press, 2003. ISBN 1584882913.

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

Nota[modifica | modifica el codi]