Problema de Basilea

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El problema de Basilea és un problema famós en teoria de nombres, plantejat per primer a vegada per Pietro Mengoli el 1644, tot i que la fou Jakob Bernoulli qui el donà a conèixer més àmpliament (i d'ell prové el seu nom, ja que Jakob Bernoulli residia a Basilea). Fou solucionat per Leonhard Euler el 1735, després de resistir els atacs de diversos matemàtics. Es pot enunciar de la següent forma:

Quin és el valor exacte de la suma dels inversos dels quadrats dels nombres naturals? és a dir, quin és valor exacte de la sèrie


\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} =
\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots

La sèrie s'aproxima a un valor proper a 1,644934..., que es pot anar calcular fàcilment afegint termes de la sèrie, però el problema demana el valor exacte, és a dir en una forma tancada (com una fracció, per exemple). Euler demostrà que la suma exacta de la sèrie és π2/6 i ho anuncià el 1735. Tot i així encara trigà 10 anys an donar una demostració totalment rigorosa, ja que la primera realitzava algunes operacions que no estaven plenament justificades.

Cal dir que la generalització d'aquesta sèrie per a qualsevol exponent real o complex és precisament la funció zeta de Riemann, d'importància cabdal en teoria de nombres.

La demostració original d'Euler[modifica | modifica el codi]

En primer lloc cal recordar l'expansió en sèrie de Taylor del sinus:

\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

Dividint per x obtenim

 \frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots

Ara cal recordar que les arrels de sin(x)/x són x = ±nπ, amb n = 1, 2, 3, ... En aquest punt Euler féu un pas agosarat i suposà que podem expressar aquesta sèrie infinita com a produte infinit dels seus factors, de la mateixa que es pot fer per a polinomis finits (evidentment aquest és un dels passos poc rigorosos de la demostració original):


\frac{\sin(x)}{x} =
\left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots

Obtenint el factor comú de tots els termes en x2


-\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots \right)x^2

veiem que el seu coeficient és precisament


-\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots \right) =
-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}

Ara bé, en l'expansió original de sèrie de Taylor, el coeficient de x2 és −1/(3!) = −1/6. Aquests dos coeficients òbviament han de ser iguals i, per tant,


-\frac{1}{6} =
-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}

i finalment,


\frac{\pi^2}{6} =
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}